É NP-difícil reproduzir rascunhos internacionais corretamente?

O seguinte problema é NP-difícil?

Dada a configuração do quadro para rascunhos internacionais , encontre uma única jogada legal.$n\times n$

O problema correspondente para damas americanas (também conhecidas como rascunhos em inglês) é trivialmente solucionável em tempo polinomial. Existem três grandes diferenças entre esses dois jogos.$n\times n$

A primeira e mais significativa diferença é a regra do "rei voador". Nas damas, um rei pode pular a peça de um oponente adjacente em um quadrado vazio a dois passos de distância em qualquer direção diagonal. Em rascunhos internacionais, um rei pode pular a peça de um oponente a uma distância arbitrária , movendo uma distância arbitrária ao longo de uma diagonal.

Como nas damas, a mesma peça pode ser usada para capturar uma série de peças em um único turno. No entanto, diferentemente das peças de damas, as peças capturadas em rascunhos internacionais não são removidas até que toda a sequência termine. A peça de captura pode pular ou cair no mesmo quadrado vazio várias vezes, mas não pode pular a peça de um oponente mais de uma vez.

Finalmente, tanto os damas quanto os rascunhos internacionais têm uma regra de captura forçada: se você pode capturar a peça de um oponente, é necessário. No entanto, as regras das regras discordam quando existem várias opções para várias. Nas damas, você pode escolher qualquer sequência máxima de capturas; em outras palavras, você pode escolher qualquer sequência de captura que termine quando a peça de captura não puder mais capturar. Nos rascunhos internacionais, você deve escolher a sequência mais longa de capturas. Assim, meu problema é equivalente ao seguinte:

Dada uma configuração de quadro para rascunhos internacionais , encontre uma jogada que capture o número máximo de peças opostas.$n\times n$

Seria suficiente provar que o seguinte problema é NP-completo. (É obviamente em NP.)

Dada a configuração do tabuleiro para rascunhos internacionais envolvendo apenas reis , um jogador pode (e, portanto, deve) capturar todas as peças de seu oponente em um único turno?$n\times n$

O problema correspondente dos verificadores pode ser respondido em tempo polinomial; este é um divertido exercício de lição de casa. O problema se parece mais com a análise de Demaine, Demaine e Eppstein dos jogos finais do Phutball ; uma solução para o divertido exercício de lição de casa aparece no final do artigo. Uma solução também aparece no artigo FOCS 1978 de Frankel et al. isso prova que jogar de maneira otimizada é difícil para o PSPACE; veja também a prova de Robson de 1984 de que as damas são realmente EXPTIME-complete.

OK, aqui está a redução. Afinal, você não precisa de planaridade. Além disso, para "encontrar uma jogada legal", tomo a pergunta da decisão como "a jogada X é legal?".

Primeiro, vamos trabalhar com um jogo em que as peças se movem ortogonalmente em vez de diagonal. Este jogo é equivalente (basta olhar para o quadro de rascunhos girado 45 graus), exceto pelas propriedades da aresta, que não usaremos. Usamos dois gadgets: mesclar / dividir e crossover. Veja http://www.hearn.to/draughts.pdf . Assumimos que existe um único rei branco no tabuleiro para se mover. (Nenhuma outra peça poderá capturar um número significativo de peças.) Ele se moverá pelos corredores indicados, capturando peças pretas ao longo do caminho.

Primeiro, mescle: se o rei entrar em qualquer um dos N caminhos A (através da captura de uma peça preta, não mostrada), ele poderá sair em B. Da mesma forma, se invertermos o dispositivo e ele entrar em B, capturando a peça mostrada, ele pode sair por qualquer caminho A (novamente, capturando uma peça preta externa). Este é um gadget de uso único (porque a peça preta de saída pode ser capturada apenas uma vez).

Segundo, cruzamento. Se o rei entra via A (C), pode sair em B (D). Ele não pode parar no meio e mudar de rota, porque esse seria um segmento de movimento que não captura.

Agora, dado um gráfico direcionado, construa uma configuração de jogo correspondente da seguinte maneira. Para cada vértice, construa uma mesclagem que alimenta uma divisão. Roteie as saídas divididas para as entradas de mesclagem dos gadgets de vértice (mesclagem + divisão) correspondentes aos vértices aos quais as arestas existentes se conectam, usando cruzamentos conforme necessário. Comece o rei com uma entrada extra para qualquer vértice (com uma peça preta para capturar para deixá-lo entrar no vértice).

Por fim, equalize todos os "comprimentos das bordas" adicionando peças pretas extras ao longo dos caminhos de saída / entrada, conforme necessário. Se houver V vértices ek peças pretas ao longo de cada borda, o rei poderá capturar 2V + kV + 1 peças se e somente se houver um circuito hamiltoniano do gráfico correspondente. Se o rei tiver um movimento alternativo disponível, capturar uma cadeia simples de peças de 2V + kV e determinar se esse movimento alternativo é legal é NP-completo.

Aqui está uma alternativa possível à redução de Bob, desta vez do ciclo Hamiltoniano (não direcionado). Não estou 100% confiante de que os detalhes estão corretos - já encontrei e corrigi vários problemas -, mas tenho certeza de que eles podem ser tratados como uma prova correta. Como Bob aponta, essa redução tem um problema sério; o rei branco pode facilmente se desviar de seu caminho canônico através do tabuleiro. Esse bug pode ser corrigido adicionando o gadget cross-over de Bob em locais apropriados (acho) , mas não é significativamente diferente de sua redução.

Seja um gráfico não direcionado com n vértices e m arestas. Desenhe G no plano colocando seus vértices em pontos regularmente espaçados em uma linha com inclinação $G$$n$$m$$G$$-1$

$O(n^2)\times O(n^2)$$O(n^2+m)$$k$$k$$hn$$h$

$k$$k$$k$$(i,j)$$i$$j$$x$$y$ coordenadas . Coloque o rei branco dentro de uma das hordas, na posição mostrada pelo círculo branco acima.

$hn^2+4n$$G$

Agora, por que você não me apresentou esse problema quando eu estava trabalhando na minha tese?

OK, eu tenho uma redução do Ciclo Hamiltoniano Dirigido Planar.