Teoremas naturais comprovados apenas "com alta probabilidade"?

Existem muitas situações em que uma "prova" aleatória é muito mais fácil do que uma prova determinística, o exemplo canônico é o teste de identidade polinomial.

Pergunta : Existem "teoremas" matemáticos naturais em que uma prova aleatória é conhecida, mas uma prova determinística não?

Por uma "prova aleatória" de uma afirmação quero dizer que $P$

Existe um algoritmo aleatório que recebe uma entrada e se for falso produz uma prova determinística de com probabilidade pelo menos . $n > 0$ $P$ $\neg P$ $1-2^{-n}$
Alguém executou o algoritmo para, digamos, , e não refutou o teorema. $n = 100$

É fácil gerar declarações não naturais que se encaixam: basta escolher uma grande instância de qualquer problema em que apenas um algoritmo aleatório eficiente seja conhecido. No entanto, embora existam muitos teoremas matemáticos com "muitas evidências numéricas", como a hipótese de Riemann, não conheço nenhum deles com rigorosa evidência aleatória da forma acima.

— Geoffrey Irving
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@ Kaveh: Obrigado pelas correções da categoria. Eu não tinha certeza do que colocá-lo.

— Geoffrey Irving

outra direção, estudando a literatura de "des randomização" (procurando também uma boa pesquisa). O teorema de Reingold, relativamente recente (premiado) , também não foi um caso disso (novamente antes da prova)?

— vzn

Bem nenhum problema com uma prova determinista descansando no ERH (como Primes costumava ser) teria esta propriedade

— Suresh Venkat

Lamento dizer, mas não acho que sua pergunta faça sentido, pois não pode haver nenhuma dessas afirmações, naturais ou não. Você escreve que N é um primo costumava ser um bom exemplo, mas (é claro) sempre houve uma prova determinística para a primalidade, apenas um pouco mais. Também não consigo imaginar como você definiria a probabilidade de sucesso de um algoritmo que deveria refutar uma instrução de correção. Talvez você queira pedir uma prova eficiente para uma classe de problemas (ou seja, a entrada seria P e n e a declaração P (n)), mas então chegamos à teoria da complexidade e à definição de BPP.

— Domotorp # 6/14

domotorp: É verdade que (supondo que o algoritmo use um número limitado de bits aleatórios) qualquer prova aleatória pode ser derandomizada com algum custo de desempenho. No entanto, estou perguntando exemplos em que o custo de desempenho é alto o suficiente para que a prova determinística não tenha sido executada até o momento, enquanto a prova aleatória o fez. Eu acredito que as definições fazem sentido nesse contexto.

— Geoffrey Irving

$\DeclareMathOperator{\inv}{inv} \DeclareMathOperator{\maj}{maj}$ Este não é um exemplo do que você está pedindo, mas sugere como esse exemplo pode acontecer. Algumas identidades combinatórias podem ser codificadas como identidades sobre polinômios de grau delimitado . Se os polinômios são univariados, para provar a identidade, basta verificar em pontos. No entanto, se os polinômios são multivariados e o grau é pelo menos moderadamente grande, o lema de Scwartz-Zippel pode ser a única maneira prática de verificar a identidade. $d$ $d+1$

Para um exemplo de caso univariado, consulte este artigo de Zeilberger, resolvendo uma questão de Knuth. Ele prova uma declaração sobre estatísticas de permutações. Para uma permutação , seja o número de inversões de , e deixar a maior índice de $\pi \in S_n$ $\inv(\pi)$ $|\{(i, j): i < j, \pi(i) > \pi(j)\}|$ $\pi$ $\maj(\pi)$ é a soma de todos os números inteiros no conjunto . Zeilberger prova que, para todos os , a covariância das duas estatísticas é $\pi$ $\{i: \pi(i+1) < \pi(i)\}$ $n$

E [(inv (π) - E [inv (π)]) \cdot (maj (π) - E [maj (π)])] = \frac{1}{4} (\binom{n}{2}),

$\mathbb{E}[(\inv(\pi) - \mathbb{E}[\inv(\pi)])\cdot(\maj(\pi) - \mathbb{E}[\maj(\pi)])] = \frac{1}{4}{n \choose 2},$ que todas as expectativas ultrapassam um uniformemente aleatório em . A prova de Zeilberger é apenas uma verificação por computador de e uma observação de que a afirmação é equivalente a uma identidade entre polinômios em de grau no máximo .

π

$\pi$

S_{n}

$S_n$

n \in {1, 2, 3, 4, 5}

$n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$

n

$n$

4

$4$

— Sasho Nikolov
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Obrigado, esse é um artigo adorável. Eu gosto bastante da moral.

— Geoffrey Irving