Complexidade da coloração de arestas em gráficos planares

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A coloração em 3 arestas dos gráficos cúbicos é completa. O Teorema de quatro cores é equivalente a "Todos os gráficos planares cúbicos sem ponte são de três bordas". $NP$

Qual é a complexidade da coloração em 3 arestas dos gráficos planares cúbicos?

Além disso, é conjecturado que a coloração -edge é -hard para gráficos planares com grau máximo {4,5}. $\Delta$ $NP$ $\Delta \in$

Houve algum progresso no sentido de resolver essa conjectura?

Marek Chrobak e Takao Nishizeki. Algoritmos aprimorados de coloração de bordas para gráficos planares. Journal of Algorithms, 11: 102-116, 1990

— Mohammad Al-Turkistany
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A linha 2 da tabela 1 em dx.doi.org/10.1007/s00453-007-9044-3 não significa que "a coloração em três arestas dos gráficos planares cúbicos" é polinomialmente solucionável?

— precisa

A entrada da tabela refere-se ao artigo Robertson, Sanders, Seymour e Thomas Four Coloring, que trata dos gráficos planares cúbicos sem ponte .

— Mohammad Al-Turkistany

+1 ótima pergunta, eu tenho um simliar, mas mais prático ...

— draks ...

Olá, você sabe se existe algum progresso para as cores de 3 bordas em gráficos cúbicos em um toro duplo ?

— Draks ...

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Todo gráfico cúbico planar sem ponte pode ser colorido com três arestas em tempo quadrático, pois essa tarefa é equivalente a quatro cores de um gráfico planar, o que pode ser feito em tempo quadrático. (Veja Robertson, Sanders, Seymour e Thomas: http://people.math.gatech.edu/~thomas/OLDFTP/fcdir/fcstoc.ps )

EDIT: Como Mathieu ressalta, os gráficos cúbicos com pontes nunca são coloridos em três bordas.

— Emil
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Os gráficos cúbicos com uma ponte nunca são coloridos em três bordas. Isto se segue do "Lema da Paridade", por exemplo, veja a observação abaixo do Lema 2.1 em combinatorics.org/Volume_17/PDF/v17i1r32.pdf

— Colin McQuillan

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Para ser mais preciso, a equivalência entre

coloração de ponta e das

-coloration fica apenas para cúbicos bridgeless planares gráficos.

3

$3$

4

$4$

— Mathieu Chapelle

@Emil, não vejo como isso implicaria que os gráficos cúbicos do PLANAR com pontes nunca são coloridos em três bordas.

— Mohammad Al-Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany Dadas duas cores aeb em uma coloração na aresta d de um gráfico regular d (d> = 2), o subgrafo induzido pelas arestas coloridas a ou b é uma união disjunta de ciclos pares. A partir disso, segue o lema da paridade: Se X é um subconjunto não vazio adequado de V (G) e F é o corte induzido por X, para todas as cores aeb, a paridade do número de arestas de X colorido a é igual à paridade do número de arestas da cor X b. Portanto, qualquer gráfico regular d (d> = 2) com uma ponte não pode ser colorido com bordas em d, independentemente de ser plano ou não.

— Leandro Zatesko 01/12/19

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A coloração em três arestas de gráficos sem triângulo com grau máximo 3 também é NP-completa, consulte 10.1016 / S0096-3003 (96) 00021-5.

— Diamantis Koreas
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Você pode encontrar este documento de interesse:

http://cs.nyu.edu/cole/papers/edge_col.pdf

— Joseph Malkevitch
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Como alternativa, dx.doi.org/10.1007/s00453-007-9044-3 É estranho que este seja um dos primeiros hits quando você pesquisa no Google <gráficos de cores planares>.

— RJK