Existe algum CCC conhecido fechado sob uma operação de domínio de poder probabilístico?

Equivalentemente, existe uma semântica denotacional conhecida para linguagens de programação funcional probabilística de ordem superior? Especificamente, existe um modelo de domínio de cálculo puro não tipado estendido por uma operação de escolha binária aleatória simétrica.$\lambda$

Motivação

As categorias fechadas cartesianas fornecem uma semântica para os cálculos ordem superior. Domínios de poder probabilísticos fornecem semântica a programas estocásticos. Um CCC fechado sob uma operação probabilística de domínio de energia forneceria uma semântica para uma linguagem de programação funcional estocástica de ordem superior.$\lambda$

Trabalho relatado

Tix, Keimel e Plotkin (2004) [1] fornecem construções modernas das operações de domínio de poder inferior, superior e convexo, mas observam que

Ainda é um problema em aberto se existe uma categoria fechada cartesiana de domínios contínuos que é fechada sob a construção de domínios de poder probabilísticos.

Mislove (2013) [2,3] fornece semântica para variáveis ​​aleatórias contínuas em uma linguagem de primeira ordem, mas observa que

Embora o domínio de poder probabilístico deixe o CCC de posets completos direcionados (dcpos, para abreviar) e mapas contínuos de Scott invariantes, não há categoria fechada cartesiana de domínios - dcpos que satisfaçam a suposição usual de aproximação - que é conhecido por ser invariante em essa construção. O melhor que se sabe é que a categoria de domínios coerentes é invariável sob a mônada de escolha probabilística [4], mas essa categoria não é fechada cartesiana.

Referências

1. Regina Tix, Klaus Keimel e Gordon Plotkin (2004) "Domínios semânticos para combinar probabilidade e não determinismo" .
2. Michael Mislove (2013) "Anatomia de um domínio de variáveis ​​aleatórias contínuas I"
3. Michael Mislove (2013) "Anatomia de um domínio de variáveis ​​aleatórias contínuas II"
4. Jung, A. e R. Tix (1998) "O problemático domínio probabilístico do poder"

A seguir, um comentário extenso, que não responde à sua pergunta nos termos que você a colocou, mas fornece uma semântica para cálculos probabilísticos de ordem superior, que você pode achar interessante.

Nos últimos anos, tem havido uma linha de pesquisa muito ativa em torno da chamada semântica denotacional quantitativa da lógica linear, com base na idéia (originalmente de Girard [1]) de que programas de ordem superior podem ser modelados por séries de potência. No caso probabilístico, isso assume a forma dos chamados espaços probabilísticos de coerência (PCS), também introduzidos por Girard [2] e estudados em profundidade por Danos e Ehrhard [3]. O PCS produz modelos de cálculos probabilísticos tipificados e não tipados, que são de natureza muito diferente dos domínios de potência e outros modelos relacionados à mônada. Em particular, os PCS fornecem o que é, até agora, o único modelo totalmente abstrato conhecido de PCF probabilístico [4], que é notoriamente difícil e aparentemente impossível de alcançar com domínios de poder (cf. o trabalho deJean Goubault-Larrecq ).

Além de Ehrhard, a semântica quantitativa agora é ativamente desenvolvida por Michele Pagani e seus co-autores. Sugiro que você consulte a página da Web para obter referências adicionais.

$\lambda$

[2] Jean-Yves Girard, Entre lógica e quântico: um tratado . Em lógica linear em ciência da computação , CUP, 2004.

[3] Vincent Danos e Thomas Ehrhard, espaços probabilísticos de coerência como modelo de computação probabilística de ordem superior . Information and Computation 209 (6): 966-991, 2011.

[4] Thomas Ehrhard, Michele Pagani e Christine Tasson, espaços probabilísticos de coerência são totalmente abstratos para o PCF probabilístico . In Proceedings of POPL , pp. 309-320, 2014.

O comentário abaixo está correto, mas é importante entender o significado de elementos "finitos" ou "compactos" de um domínio. Essas são as denotações de objetos computáveis ​​em tempo finito; portanto, sua aparência em um modelo semântico não é uma conveniência teórica da prova - elas representam a forte conexão entre o modelo e a computação real.

Bem, a citação de Mislove já contém uma resposta positiva: a categoria de dcpos é fechada e também fechada sob o domínio do poder probabilístico. Na verdade, pode ser usado para dar uma semântica denotacional ao cálculo probabilístico de ordem superior. No entanto, os dcpos falham em satisfazer as "suposições de aproximação usuais" de que todo elemento pode ser aproximado por elementos "finitos" em algum sentido, como é o caso dos cpos algébricos e contínuos. Essas suposições ajudam com certos argumentos denotacionais, mas não são necessárias para fornecer uma semântica propriamente dita.