Ainda está aberto para determinar a complexidade da computação da largura de árvore dos gráficos planares?

Para uma constante , pode-se determinar em tempo linear, dado um gráfico de entrada , se sua largura de árvore é . No entanto, quando e são dados como entrada, o problema é NP-difícil. ( Fonte ). $k \in \mathbb{N}$ $G$ $\leq k$ $k$ $G$

No entanto, quando o gráfico de entrada é plano , muito menos parece ser conhecido sobre a complexidade. Aparentemente, o problema foi aberto em 2010, uma reivindicação que também apareceu nesta pesquisa em 2007 e na página da Wikipedia para decomposições de ramos . Por outro lado, o problema é reivindicado NP-hard (sem prova de referência) em uma versão anterior da pesquisa mencionada anteriormente, mas presumo que seja um erro.

Ainda está aberto para determinar a complexidade do problema, dado e um gráfico planar , de determinação de com largura da árvore ? Se for, isso foi reivindicado em um artigo recente? Existem resultados parciais conhecidos? Se não for, quem resolveu? $k \in \mathbb{N}$ $G$ $G$ $\leq k$

— a3nm
fonte

Pergunta interessante, felicidades por reiniciar a pesquisa. Para poupar meus 2 centavos, acredito que a fonte original para a prova de tempo linear é Bodlaender, mas o fator constante oculto pela notação de complexidade assintótica é enorme. Talvez uma cisão / extensão interessante para sua pergunta seja se a restrição planar permite um fator constante mais prático nesse contexto?

— Fasermaler

Eu acho que é um "problema famoso e antigo", portanto, se você não encontrar um trabalho, provavelmente ainda é um problema em aberto. Outras "evidências": Palestra do curso Algoritmos de Gráficos, Aplicações e Implementações (2015), Palestra do curso Gráficos e Algoritmos: Tópicos Avançados (2014), Enciclopédia de algoritmos (2008).

— Marzio De Biasi

@Sariel: Pode ser aproximado dentro de um fator constante (3/2) usando o fato de que ele e a largura da ramificação estão dentro de uma constante uma da outra e que a largura da ramificação planar pode ser calculada em tempo polinomial. Também pode ser aproximado no log para todos os gráficos usando Leighton – Rao; veja kintali.wordpress.com/2010/01/28/approximating-treewidth

— David Eppstein

@Fasermaler, o primeiro passo no algoritmo de Bodlaender (e algoritmos anteriores que eram FPT, mas não de tempo linear) é calcular uma decomposição aproximada de árvore na qual se pode usar a programação dinâmica para encontrar a decomposição ideal. Quanto mais apertada a aproximação, mais rápido o segundo passo. Portanto, o fato de aproximações mais apertadas à largura da árvore planar poderem ser encontradas usando a largura da ramificação parece levar a uma melhor dependência do parâmetro (às custas de voltar ao polinômio a partir da linear). Mas não conheço documentos que analisem isso com cuidado.

— David Eppstein

Em relação ao problema de aproximação da largura da árvore. Uma aproximação

para encontrar separadores de nós esparsos / balanceados dará uma aproximação

para a largura da árvore. Assim, em gráficos gerais, obteremos

α

$\alpha$

O (α)

$O(\alpha)$

via ARV / Feige-Lee-Hajiaghayi e

em famílias planares e menores fechadas por menores. Para gráficos gerais, pode-se obter

O (\sqrt{\log n})

$O(\sqrt{\log n})$

O (1)

$O(1)$

onde

é a largura da árvore.

O (\sqrt{\log k})

$O(\sqrt{\log k})$

k

$k$

— Chandra Chekuri

Até onde eu sei, a completude NP da computação ainda está aberta. A referência mais recente que conheço é uma pesquisa realizada pela Bodlaender em 2012, chamada `` Rastreabilidade de parâmetros fixos da largura de árvore e largura de caminho '', que apareceu no festschrift no 65º aniversário de Mike Fellows. O problema está listado na conclusão da pesquisa.

— Bart Jansen
fonte

Obrigado! (E obrigado também a @MarzioDeBiasi por sugerir outras referências.) Por curiosidade, alguém também sabe quando o problema foi apresentado pela primeira vez?

— a3nm