Propriedade Church-Rosser para cálculo lambda de tipo dependente?

É sabido que a propriedade Church-Rosser é válida para a redução de no cálculo lambda de tipo simples. Isso implica que o cálculo é consistente, no sentido de que nem todas as equações que envolvem termos- λ são deriváveis: por exemplo, K ≠ I , pois não compartilham a mesma forma normal.$\beta \eta$$\lambda$$\neq$

Sabe-se também que se pode estender o resultado a pares que correspondem aos tipos de produtos.

Mas me pergunto se é possível estender ainda mais o resultado para o cálculo lambda de tipo dependente (talvez) com tipos polimórficos, por exemplo, o Cálculo de Construções?

Qualquer referência também seria ótima!

obrigado

Pode ser útil dar rapidamente o contra-exemplo ao CR nos cálculos digitados com e η :$\beta$$\eta$

$$t=\lambda x:A.(\lambda y:B.\ y)\ x$$

E nós temos e t → r | X Y : B .

$$t\rightarrow_\beta \lambda x: A.x$$ $$t\rightarrow_\eta \lambda y:B.y$$

É imediato que, se , os dois termos resultantes são, de fato, α equivalentes, mas não há razão para que isso aconteça , em termos não digitados .$A\equiv B$$\alpha$

Em termos de digitação , é bastante claro que deve ser igual a B para que o termo resultante t seja bem digitado. A grande dificuldade que ocorre é esta:$A$$B$$t$

Para sistemas de tipo dependente, a confluência precisa ser comprovada antes da preservação do tipo!

Isso é porque você precisa de propriedade de -injectivity $\Pi$ para provar a inversão, necessária para provar a preservação / redução do sujeito.

$$\Pi x:A.B=_{\beta\eta}\Pi x:A'.B'\ \Leftrightarrow\ A=_{\beta\eta}A'\wedge B=_{\beta\eta} B'$$

Portanto, você não pode nem provar que as reduções preservam os tipos sem confluência, mas a confluência nem se aplica a termos não digitados / digitados incorretamente!$\beta\eta$

$\eta$$\eta$$t\rightarrow_{\eta*}\lambda x:A.t\ x$

$\lambda$

Uma abordagem diferente, e recentemente bastante popular, é descrita por Abel, Igualdade Algorítmica Sem Tipo , para o Quadro Lógico de Martin-Löf com Pares Surjetivos .

$\lambda$

• PTS com apenas redução β satisfaz CR em termos digitados. Isso ocorre imediatamente a partir de RC em 'pseudotermos', juntamente com a redução de sujeitos.

• Para PTS com redução de βη, a RC no conjunto de pseudotermos é falsa. Veja (2).

• No PTS com redução βη, o CR é válido para termos bem digitados de um tipo fixo . Veja (1).

PTS são formalismos muito gerais e incluem o Sistema F, Fω, LF, bem como o cálculo de construções. Os dois últimos são digitados com dependência. Ambos (1, 2) são artigos bastante antigos, e imagino que mais seja conhecido em 2015.

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^$\lambda$

^{2. RP Nederpelt, Forte normalização em um cálculo lambda digitado com tipos estruturados lambda .}