Os gráficos de gênero externo têm largura de árvore constante?

Deixe e denote por o conjunto de todos os gráficos que podem ser incorporados em uma superfície do gênero modo que todos os vértices estejam situados na face externa . Por exemplo, é o conjunto de gráficos externos. A largura da árvore dos gráficos em ser delimitada por alguma função de ?$k\in\mathbb{N}$$G_k$$k$$G_0$$G_k$$k$

A outra direção obviamente não se mantém, uma vez que a largura da árvore constante nem mesmo implica o gênero constante: Seja a união de cópias disjuntas de . A largura da árvore de é constante, porém seu gênero é .$H_n$$n$$K_{3,3}$$H_n$$n$

Sim.

Adicione um vértice no meio da face externa, conectado a todos os vértices na face externa; isso não altera o gênero e não diminui a largura da árvore. Agora, o gráfico tem uma árvore de pesquisa muito rasa, com a primeira largura, enraizada no novo vértice (tudo fica adjacente a ele).

Forme uma árvore de abrangência do gráfico duplo cujas arestas duplas não se ajustem às arestas da primeira árvore de pesquisa de largura. Depois, há um conjunto de arestas O (gênero) que não pertencem a nenhuma das árvores. Cada uma dessas arestas induz um ciclo curto (um triângulo) junto com um caminho na primeira árvore de pesquisa de largura, e cortar a superfície ao longo desses ciclos produz uma superfície plana (consulte meu artigo "Geradores dinâmicos de gráficos topologicamente incorporados"). Ou seja, se G 'é o subgrafo do gráfico de entrada induzido pelos vértices que não são pontos finais das arestas de corte de O (gênero), então G' é plano e seus vértices podem ser cobertos pelas faces de O (gênero) de incorporação plana (as faces nas quais o ciclo de corte corta a face externa original).

Porém, em um gráfico plano em que todos os vértices pertencem a k faces, é possível remover outras arestas O (k) (uma árvore de abrangência das faces) para obter um gráfico externo. Portanto, a largura da árvore de G 'é O (gênero). Se alguém formar uma decomposição em árvore de G 'com essa largura e adicionar a cada bolsa os vértices que são pontos finais das arestas do ciclo de corte, o resultado será uma decomposição em árvore do gráfico de entrada original com a largura da árvore O (gênero).

Parece provável que isso já deva estar na literatura em algum lugar, mas não sei onde e algumas pesquisas rápidas não conseguiram encontrar uma declaração explícita desse resultado preciso. No entanto, uma afirmação mais geral está em outro artigo meu: em "Diâmetro e largura de árvore em famílias de gráficos menores fechados", provo, entre outras coisas, que os gráficos de gênero delimitados de diâmetro delimitado têm delimitado a largura de árvore. Nesse caso (adicionando esse vértice extra na face externa), o diâmetro pode ser considerado no máximo dois.