A incomputabilidade da complexidade de Kolmogorov segue o Teorema de Ponto Fixo de Lawvere?

Muitos teoremas e "paradoxos" - diagonalização de Cantor, indecidibilidade de hatling, indeciabilidade da complexidade de Kolmogorov, incompletude de Gödel, incompletude de Chaitin, incompletude de Chaitin, paradoxo de Russell etc. - todos têm essencialmente a mesma prova de diagonalização (observe que isso é mais específico do que pode ser). tudo isso é provado pela diagonalização; parece que todos esses teoremas realmente usam a mesma diagonalização; para mais detalhes, por exemplo , Yanofsky , ou para uma descrição muito mais breve e menos formalizada, minha resposta a essa pergunta ).

Em um comentário sobre a questão acima mencionada, Sasho Nikolov apontou que a maioria desses casos eram especiais do Teorema de Ponto Fixo de Lawvere . Se todos fossem casos especiais, essa seria uma boa maneira de capturar a idéia acima: realmente haveria um resultado com uma prova (de Lawvere), da qual todas as anteriores foram seguidas como corolários diretos.

Agora, para a incompletude e indecidibilidade de Gödel do problema da parada e de seus amigos, é sabido que eles seguem o Teorema de Ponto Fixo de Lawvere (ver, por exemplo, aqui , aqui ou Yanofsky ). Mas não vejo imediatamente como fazer isso pela indecidibilidade da complexidade de Kolmogorov, apesar do fato de que a prova subjacente é de alguma forma "a mesma". Então:

A indecidibilidade da complexidade de Kolmogorov é um corolário rápido - que não requer diagonalização adicional - do Teorema de Ponto Fixo de Lawvere?

— Joshua Grochow
fonte

Devo dizer que tudo o que soube sobre esse tópico aprendi neste post de Andrej Bauer: math.andrej.com/2007/04/08/on-a-proof-of-cantors-theorem

— Sasho Nikolov

@MaxNew: Let

ser uma função computável, calculado por alguns TM

. Deixe-

ser a seguinte TM: na entrada vazia, ele começa a passar por cordas um de cada vez até encontrar um

com

saída

. Note-se que

para alguns

dependendo apenas de

. Então, para qualquer

tal que

f

$f$

M

$M$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

f (x) \geq | x | > k

$f(x) \geq |x| > k$

x

$x$

| M_{k} | \leq \log_{2} (k) + c

$|M_k| \leq \log_2(k) + c$

c

$c$

| M |

$|M|$

k

$k$

(qualquer

suficientemente grandeserve), ou não existe

(nesse caso,

) ou

gera algum

tal que

(por construção), mas o fato de que

produz

implica que

, então

k > | M_{k} |

$k > |M_k|$

k

$k$

x

$x$

f \neq C

$f \neq C$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

f (x) \geq | x | > k

$f(x) \geq |x| > k$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

C (x) \leq | M_{k} | < k

$C(x) \leq |M_k| < k$

f (x) \neq C (x)

$f(x) \neq C(x)$

— Joshua Grochow 23/03

@NealYoung: Semelhante, mas esses não respondem completamente à minha pergunta. Reduzir do problema de interrupção está levando o HALT a ser a "fonte" de desconformidade e, em seguida, o uso de reduções. Mas (por exemplo) a prova que dei nos comentários acima mostra que você também pode considerar a complexidade K como a "fonte de incomputabilidade", mas por uma prova muito semelhante à do HALT. Essa prova semelhante pode realmente ser mostrada a mesma em algum sentido técnico? (Nesse caso, mostrando que todos são exemplos do Teorema de Lawvere, o que me parece mais forte do que muitos tipos de redução.) É disso que eu realmente busco.

— Joshua Grochow 23/03

@NealYoung: Sim, ele generaliza o teorema do ponto fixo de Roger. Mas se você pensar nisso apenas como o Teorema de Roger, estará perdendo o ponto; o ponto é que o de Lawvere é geral o suficiente para capturar a estratégia de provas de muitas provas diferentes, além da de Roger. O artigo de Yonofsky vinculado à pergunta pretende ser uma exposição "livre de categoria" do Teorema de Lawvere, amigável para pessoas para quem a teoria da categoria de Lawvere pode ser intimidadora.

— Joshua Grochow 23/03

Veja também cstheory.stackexchange.com/a/2830

— András Salamon

EDIT: Adicionando a ressalva de que o teorema do ponto fixo de Roger pode não ser um caso especial do de Lawvere.

Aqui está uma prova que pode ser "próxima" ... Ela usa o teorema do ponto fixo de Roger em vez do teorema de Lawvere. (Veja a seção de comentários abaixo para mais discussões.)

Seja a complexidade de Kolmogorov da cadeia . $K(x)$ $x$

lema . não é computável $K$ .

Prova .

Suponha, por contradição, que é computável. $K$
Defina como o comprimento mínimo de codificação de qualquer Máquina de Turing com . $K'(x)$ $M$ $L(M) = \{x\}$
Existe uma constante tal que para todas as cadeias . $c$ $|K(x) - K'(x)|\le c$ $x$
Função de definir tal que onde tal que é a string mínimo tal que . $f$ $f(\langle M \rangle) = \langle M' \rangle$ $L(M') = \{x\}$ $x$ $K(x) > |\langle M\rangle| + c$
Como é computável, o mesmo é . $K$ $f$
Pelo teorema de ponto fixo de Roger , tem um ponto fixo, isto é, existe uma máquina de Turing de tal modo que onde . $f$ $M_0$ $L(M_0) = L(M_0')$ $\langle M_0' \rangle = f(\langle M_0\rangle)$
Pela definição de na linha 4, temos tal que . $f$ $L(M_0) = \{x\}$ $K(x) > |\langle M_0\rangle| + c$
As linhas 3 e 7 implicam . $K'(x) > |\langle M_0\rangle|$
Mas pela definição de na linha 2, , contradizendo a linha 8. $K'$ $K'(x) \le |\langle M_0 \rangle|$

— Neal Young
fonte

Até onde eu sei, o teorema do ponto fixo de Roger não é uma instância do teorema do ponto fixo de Lawvere. É uma variante, no entanto, porque nos topos efetivos se lê da seguinte maneira: se

é uma rejeição com o mesmo valor ,

possui a propriedade de ponto fixo. (Teorema de Lawvere nos topos eficazes é: se

é um surjection então

tem a propriedade de ponto fixo.)

f : N ⇉ A^{N}

$f : \mathbb{N} \rightrightarrows A^\mathbb{N}$

A

$A$

f : B \to A^{B}

$f : B \to A^B$

A

$A$

— Andrej Bauer

Acima da minha classificação salarial, @AndrejBauer - não conheço a teoria das categorias. Tentei ler isso e sua resposta aqui . Ainda não entendi. Você pode me dizer, no seu comentário acima, sobre o teorema de Rogers, o que você considera para a função

(com o tipo

) e o que é

? Ou talvez sugira um tutorial apropriado?

f

$f$

f : N \vec{\to} A^{N}

$f:\mathbb{N}\overrightarrow{\rightarrow} A^{\mathbb{N}}$

A

$A$

— Neal Young

Slides 45 e 46 em math.andrej.com/wp-content/uploads/2007/05/syncomp-mfps23.pdf (a boa notícia é que agora tenho um plano definido e um prazo para escrever um extenso artigo sobre computação sintética )

— Andrej Bauer 26/03