Cálculo de construções: comprima a expressão para a menor forma

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Estou ciente de que o Cálculo de Construções está fortemente normalizando, o que significa que toda expressão tem um normal, pois não pode ser beta, reduzida ainda mais. Portanto, de fato, essa é a expressão mais eficiente que calcula o mesmo valor da expressão original.

Mas, em certos casos, a normalização pode reduzir uma expressão pequena a uma expressão enorme (em termos de tamanho).

Existe uma forma menor de expressões? Um formulário que calcula o mesmo valor com o menor tamanho.

Em outras palavras, em vez de uma forma normal com eficiência de tempo, uma forma com eficiência de espaço.

— user47376
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$\lambda$

$n$ $\overline{n}$ $n$ $\mathtt{succ}$ $0$ $M$ $\lceil M \rceil$ $M$

$t, u : \mathtt{nat} \to \mathtt{nat}$ $t \simeq u$ $n \in \mathbb{N}$ $t \, \overline{n}$ $s \, \overline{n}$

$\mathtt{nat} \to \mathtt{nat}$

$S : \mathtt{nat} \times \mathtt{nat} \to \mathtt{nat}$ $n \in \mathbb{N}$ $M$ $S (\lceil M \rceil, \overline{n})$ $\overline{1}$ $T$ $n$ $\overline{0}$ $n$

$Z_1, \ldots, Z_k$ $\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$ $\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$ $\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$ $\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$

$M$

u : = λ x : n a t . S (⌈ M ⌉, x)

$u \mathbin{{:}{=}} \lambda x : \mathtt{nat} .\, S (\lceil M \rceil, x)$

M

$M$

u \bar{n}

$u \overline{n}$

\bar{0}

$\overline{0}$

n

$n$

λ x : n a t . 0

$\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$

M

$M$

u

$u$

Z_{1}, \dots, Z_{k}

$Z_1, \ldots, Z_k$

M

$M$

Z_{1}, \dots, Z_{k}

$Z_1, \ldots, Z_k$

$\beta$

— Andrej Bauer
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Como você calcula Z1, .. Zk?

— user47376

Você não precisa. Ou seja, o algoritmo que estou descrevendo está lá fora, e não sabemos exatamente o que é, mas isso é irrelevante. Na verdade, não estou tentando executar o algoritmo, só preciso que ele exista para mostrar que seu algoritmo não existe.

— Andrej Bauer

Sim, mas o seu argumento diz que, se o meu algoritmo existir, podemos resolver o problema da parada. Para determinar se uma máquina de turing M interrompe seu algoritmo normaliza u e verifica se é uma de Z1, .. Zk. Portanto, ele precisa ser capaz de enumerá-las, caso contrário não poderá ser interrompido.

— user47376

Z_{1}, \dots, Z_{k}

$Z_1,\ldots,Z_k$

k

$k$

Z

$Z$

k

$k$

Z [i]

$Z[i]$

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(λ x : T . C x x) u \to_{β} C u u

$(\lambda x:T.C\ x\ x)\ u\rightarrow_\beta C\ u\ u$

u

$u$

Nesse sentido, sabe-se como reduzir os termos não digitados da maneira ideal, reduzindo o compartilhamento o máximo possível. Isso é explicado aqui: https://stackoverflow.com/a/41737550/2059388 e a citação relevante é J. Um algoritmo de J. Lamping para uma redução ideal do cálculo lambda . Há poucas dúvidas de que o teorema do cálculo não tipificado possa ser estendido ao CIC.

Uma outra questão relevante é a quantidade de informações de tipo que podem ser apagadas ao realizar a conversão de tipos, ou mesmo como realizar uma conversão eficiente, que é um campo ativo de pesquisa, veja, por exemplo , a tese de Mishra-Linger .

— cody
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Deixe-me insistir no ponto de vista abordado pela resposta de Cody.

$\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$

$M$ $f$

M \bar{x} \to^{l (| x |)} \bar{f (x)}

$M\,\overline{x}\to^{l(|x|)}\overline{f(x)}$

l (| x |)

$l(|x|)$

l (n) = O (n^{k})

$l(n)=O(n^k)$

k

$k$

f

$f$

$\lambda$ $\Theta(n)$ $\Theta(2^n)$ $\lambda$ $\lambda$

$\lambda$ $\lambda$

$\lambda$

Essa mesma sintaxe pode ser usada para provar que, ao contrário da intuição ingênua, a resposta à pergunta acima é sim: o número de etapas mais à esquerda na forma normal é uma medida de custo razoável, mesmo que o tamanho exploda, porque de fato, existe outra maneira de representar a mesma computação (usando substituições explícitas lineares) na qual:

o tamanho não explode;
$\lambda$

Tudo isso é explicado no artigo de Accattoli e Dal Lago "A redução beta é invariante, de fato" (LICS 2014 e, então, acho que há uma versão mais recente do diário).

$\lambda$

— Damiano Mazza
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O que eu tinha em mente é, por exemplo, um termo que desdobra um milhão de etapas para gerar uma lista de um milhão de elementos. Isso normaliza a lista real, que é a representação mais eficiente desse valor (é o resultado final real, não são necessárias outras etapas). Mas o próprio termo desdobrado pode ser muito pequeno.

— user47376

β

$\beta$

Sim, é impossível como Andrej disse. Isso respondeu à minha pergunta.

— user47376