Existem procedimentos de semi-decisão para essa teoria?

Eu tenho a seguinte teoria digitada

|- 1_X : X -> X
f : A -> B, g : B -> C |- compose(g,f) : A -> C
F, f : A -> B |- apply(F,f) : F(A) -> F(B)

com equações para todos os termos:

f : A -> B, g : B -> C, h : C -> D |- compose(h,compose(f,g)) = compose(compose(h,f),g)
f : A -> B |- compose(f,1_A) = f
f : A -> B |- compose(1_B,f) = f
F |- apply(F,1_X) = 1_F(X)
f, f : A -> B, g : B -> C |- apply(F,compose(g,f)) = compose(apply(F,g),apply(F,f))

Estou procurando um procedimento de semi-decisão que possa provar equações nesta teoria, dado um conjunto de equações hipotéticas. Também não está claro se existe ou não um procedimento de decisão completo: não parece haver nenhuma maneira de codificar a palavra problema para os grupos. Neel Krishnaswami mostrou como codificar a palavra problema para isso, então o problema geral é indecidível. A subteoria da associatividade e da identidade pode ser facilmente decidida usando um modelo monóide da teoria, enquanto o problema completo é mais difícil do que o fechamento da congruência. Quaisquer referências ou sugestões serão bem-vindas!

Aqui está um exemplo explícito de algo que esperamos poder provar automaticamente:

f : X -> Y, F, G,
a : F(X) -> G(X), b : G(X) -> F(X),
c : F(Y) -> G(Y), d : G(Y) -> F(Y),
compose(a,b) = 1_F(X), compose(b,a) = 1_G(X),
compose(c,d) = 1_F(Y), compose(d,c) = 1_G(Y),
compose(c,apply(F,f)) = compose(apply(G,f),a)
|- compose(d,apply(G,f)) = compose(apply(F,f),b)

$X$$x,x' : X \to X$$x \circ x' = 1_X$$x' \circ x = 1_X$$x\circ y\circ z$$z' \circ y' \circ x'$

No entanto, a palavra problema é solucionável para muitos grupos específicos; portanto, se você tiver mais detalhes sobre o problema, isso poderá ajudar. Em particular, uma idéia da teoria dos grupos que pode ajudá-lo muito é que apresentações absolutas de grupos finitamente gerados são solucionáveis ​​- as desigualdades podem remover o espaço de pesquisa o suficiente para tornar a teoria decidível.

EDIT: Um pensamento adicional que tive foi que adicionar irrelações ainda pode ser uma ferramenta útil para você, mesmo que os modelos concretos de seu interesse validem as equações. Isso ocorre porque, em situações categóricas, você geralmente deseja apenas equações "agradáveis", por algum valor agradável, e pode usar as inequações para descartar soluções que são más demais para você. Seu procedimento de decisão ainda pode estar incompleto, mas você pode obter uma caracterização mais natural das soluções que pode encontrar do que "pesquisamos possíveis árvores de prova a uma profundidade de 7".

Boa sorte; essa coisa de funcionamento que você está fazendo parece bem legal!

Uma referência: Automatizando provas na teoria de categorias de Dexter Kozen, Christoph Kreitz e Eva Richter.