Um problema de partição com restrições de pedidos

No OrderedPartitionproblema, a entrada são duas seqüências de $n$ inteiros positivos, $(a_i)_{i\in [n]}$ e $(b_i)_{i\in [n]}$ . A saída é uma partição dos índices $[n]$ em dois subconjuntos separados, $I$ e $J$ , de modo que:

1. $\sum_{i\in I} a_i = \sum_{j\in J} a_i$
2. Para tudo $i\in I$ e para todos $j\in J$ : $b_i\leq b_j$ .

Em outras palavras, que tem a primeira ordem sobre os índices de uma linha de modo a que o $b_i$ são fracamente crescente, e depois cortar a linha de modo a que a soma de a $a_i$ em ambos os lados é o mesmo.

Se todos os $b_i$ forem iguais, a condição 2 é irrelevante e temos uma instância do problema NP-hard Partition. Por outro lado, se todos os $b_i$ forem diferentes, a condição 2 impõe uma única ordem nos índices; portanto, existem apenas $n-1$ opções para verificar e o problema se torna polinomial. O que acontece entre esses casos?

Para formalizar a questão, defina por OrderedPartition[n,d], para $1\leq d\leq n$ , o problema restrito a instâncias de tamanho $n$ , nas quais o maior subconjunto de idênticos $b_i$ s é do tamanho $d$ . Portanto, o caso fácil, quando todos os $b_i$ s são diferentes, é OrderedPartition[n,1], e o caso difícil, quando todos os $b_i$ s são idênticos, é OrderedPartition[n,n].

De maneira mais geral, para qualquer $n$ e $d$ , em qualquer OrderedPartition[n,d]caso, o número de partições possíveis que respeitam a condição 2 é $O(n 2^d)$ . Portanto, se $d\in O(\log{n})$ , então OrderedPartition[n,d]ainda é polinomial em $n$ .

Por outro lado, para qualquer $n$ e $d$ , podemos reduzir de um Partitionproblema com $d$ inteiros para OrderedPartition[n,d]. Seja $p_1,\ldots,p_d$ uma instância de Partition. Defina uma instância de OrderedPartition[n,d]:

• Para cada $i\in \{1,\ldots,d\}$ , deixe $a_i := 2n\cdot p_i$ e $b_i := 1$ .
• Para cada $i\in \{d+1,\ldots,n\}$ , deixe $a_i := 1$ e $b_i := i$
  _{[if $n-d$ é estranho, fazer $a_n:=2$ , tais que a soma será ainda]} .

Por isso, se $d\in\Omega(n^{1/k})$ , para qualquer número inteiro $k\geq 1$ , então OrderedPartition[n,d]é NP-duro.

PERGUNTA: O que acontece nos casos intermediários, nos quais $d$ é superlogarítmico, mas sub-polinomial em $n$ ?

Intuitivamente, os casos intermediários não devem estar nem em P nem em NP-difícil. Talvez dependa exatamente do que entendemos por "caso intermediário". Aqui está uma interpretação para a qual podemos provar algo.

$\epsilon>0$$2^{n^{\epsilon}}$

$_c$$d \le \log^c n$$n \ge 2^{d^{1/c}}$$_c$

$_c$$c$

$_c$$c$$f$$_c$$n^{f(c)}$$n$$[2^{n^{b/c}}, n^b]$$b$$c>0$$n$$_c$$2^{n^{b/c}}$$2^{f(c)n^{b/c}}$$_c$$\epsilon>0$$c=2b/\epsilon$$2^{c' n^{\epsilon/2}} \le 2^{n^{\epsilon}}$$n$$~~~~\Box$

$_2$$2^{\sqrt n}$

$_c$$c$

$_c$$c$$n$$_c$$O(n^b)$$b$$[n^b, d]$$d\le \log^c (n^b)$$n^{O(1)} 2^d = n^{O(1)} 2^{\log^c (n^b)}$$~~~~\Box$

$_{d(n)}$$n$$d(n)$$d$$[n, d(n)]$$_{d(n)}$$n$$d$$_{p(n)}$$p(n)$$p(n)$

ps Veja também Consequências de provas / algoritmos subexponenciais para SAT .