Provas obtidas apenas através da teoria dos grafos espectrais

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Tenho um interesse crescente na teoria dos grafos espectrais, o que acho fascinante, e comecei a coletar alguns documentos que ainda tenho que ler mais profundamente do que o que tenho até agora.

No entanto, estou curioso sobre uma declaração que apareceu em várias fontes (por exemplo, por lá ), que diz em essência que alguns resultados na teoria dos grafos foram provados usando apenas técnicas baseadas em espectro, e que até agora, nenhuma prova de que ignora essas técnicas é conhecida.

A menos que eu pulei isso, não me lembro de ter visto um exemplo na literatura que li até agora. Algum de vocês conhece exemplos de tais resultados?

— Anthony Labarre
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O título da pergunta sugere que você está solicitando provas que só podem ser obtidas usando a teoria dos grafos espectrais, mas está solicitando provas que até agora só foram obtidas pela teoria dos grafos espectrais. Essas são duas perguntas totalmente diferentes. Então, como está, o título é enganador, e foi por isso que o mudei.

— Dave Clarke

@ Dave Eu fiz um rollback

— Suresh Venkat

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O capítulo 7 de Spectra of Graphs, de Cvetković, Doob e Sachs, fornece muitos exemplos de teoremas cujas declarações não fazem menção explícita a espectros, mas são prováveis usando técnicas espectrais. Meu palpite é que muitos deles não têm provas não espectrais conhecidas, embora você precise verificar isso caso a caso. Certamente, em muitos casos, a prova mais simples ou mais natural usa espectros.

— Timothy Chow

@ Timothy Chow: Obrigado, vou tentar colocar minhas mãos nele.

— Anthony Labarre

@ TimothyChow: Você deve fazer disso uma resposta, eu acho.

— Suresh Venkat

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O teorema de Hoffman-Singleton .

— Colin McQuillan
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Hoffman-Singleton também foi meu primeiro pensamento. Mas não sei se existem provas não espectrais e se não existem, porque são muito difíceis ou porque ninguém tentou. A prova padrão é bem clara e concisa, então não sei de antemão qual seria a motivação para obter uma prova não espectral.

— Mhum

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Que tal esse resultado na computação quântica.

Mario Szegedy. Aceleração quântica de algoritmos baseados em cadeias de Markov. Em FOCS'04.

Ele estende as cadeias de Markov às cadeias quânticas de Markov e mostra que o tempo de impacto quântico é mais alto limitado pela raiz quadrada do tempo de impacto clássico. Ele faz isso relacionando os vetores singulares da cadeia clássica de Markov aos vetores singulares da cadeia quântica de Markov. Antes deste artigo, não havia nenhuma relação conhecida entre passeios aleatórios e quânticos. Não consigo imaginar como fazer o mesmo usando técnicas não espectrais.

— Marcos Villagra
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Penso que o teorema da amizade (veja também o artigo de Huneke ) é um bom exemplo, embora estritamente falando exista agora provas do teorema da amizade que evitam valores próprios. As provas que evitam valores próprios inteiramente são muito mais confusas que a prova espectral.

(O teorema da amizade afirma que, se em uma sala de pessoas, todo par de pessoas tem exatamente um amigo em comum, então há alguém que conhece todo mundo.)

— Timothy Chow
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Seja a matriz laplaciana de um gráfico ponderado não direcionado . Um esparsificador de um gráfico é um gráfico tal que para cada o seguinte vale: Usando métodos espectrais, Batson et al. mostre como construir esses sparisifiers usando arestas . $L_G$ $G = (V,E,w)$ $G$ $H$ $x \in R^V$

x^{T} L_{H} x (1 - ϵ) \leq x^{T} L_{G} x \leq x^{T} L_{H} x (1 + ϵ) .

$x^T L_H x (1-\epsilon) \le x^T L_G x \le x^T L_H x (1+\epsilon).$

O (n / ϵ^{2})

$O(n/\epsilon^2)$

Mesmo que a afirmação do teorema não seja discutivelmente "inerentemente espectral", não creio que se saiba como se pode obter esse resultado ou um resultado semelhante sem o uso de técnicas espectrais.

— Lev Reyzin
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É um pouco discutível se a declaração não é inerentemente espectral. Em um sentido literal, você está certo, mas a única razão pela qual posso pensar por que a forma quadrática aparece é espectral.

— Suresh Venkat

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Essa é uma espécie de afirmação espectral. é exatamente o casco convexo dos autovalores de A se A for o Laplaciano de um gráfico não direcionado. A condição está solicitando outro gráfico com aproximadamente o mesmo espectro. Mas acho que nem se sabe como obter sparsifiers simples de corte antigo com bordas outra maneira.

F (A) = {x^{T} A x : | | x | |_{2} = 1}

$F(A) = \{x^TAx: ||x||_2 = 1\}$

O (n / ϵ^{2})

$O(n/\epsilon^2)$

— Aaron Roth

Claro - mas pode-se imaginar adquirindo esses esparsificadores de outra maneira. Mas, sim, este pode não ser o melhor exemplo ...

— Lev Reyzin