Função eficientemente computável como um contra-exemplo da conjectura Mobius de Sarnak

Recentemente, Gil Kalai e Dick Lipton escreveram um belo artigo sobre uma conjectura interessante proposta por Peter Sarnak, especialista em teoria dos números e na hipótese de Riemann.

Conjetura. Seja a função de Möbius . Suponha que seja uma função com entrada na forma de representação binária de , então $\mu(k)$ $f: \mathbb{N} \to \{-1,1\}$ $\mathsf{AC}^0$ $k$ $k$
$\sum_{k \leq n} μ (k) \cdot f (k) = o (n) .$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = o(n) \text.$

Observe que se , temos uma forma equivalente do teorema do número primo . $f(k) = 1$

ATUALIZAÇÃO : Ben Green, no MathOverflow, fornece um pequeno artigo que afirma provar a conjectura. Dê uma olhada no jornal .

Por outro lado, sabemos que, definindo (com uma pequena modificação para que o intervalo esteja em ), a soma resultante tem a estimativa Existe um limite superior que pode ser calculado em , portanto, a restrição proposta em na conjectura não pode ser relaxada para uma função . Minha pergunta é: $f(k) = \mu(k)$ $\\{-1,1\\}$

\sum_{k \leq n} μ (k)^{2} = Ω (n) .

$\sum_{k \leq n} \mu(k)^2 = \Omega(n) \text.$

μ (k)

$\mu(k)$

U P \cap c o U P \subseteq N P \cap c o N P

$\mathsf{UP} \cap \mathsf{coUP} \subseteq \mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$

f (k)

$f(k)$

N P

$\mathsf{NP}$

Qual é a classe de menor complexidade que conhecemos atualmente, de modo que uma função em satisfaz a estimativa Em particular, como alguns teóricos acreditavam que a computação não está em , podemos fornecer outras funções que implica um crescimento linear na soma? Podem ser obtidos limites ainda melhores? $\mathsf{C}$ $f(k)$ $\mathsf{C}$
$\sum_{k \leq n} μ (k) \cdot f (k) = Ω (n) ?$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = \Omega(n) \text{?}$ $\mu(k)$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ $f(k)$

— Hsien-Chih Chang 張顯之
fonte

Alguma classe quântica como P ^ {BQNC} também deve funcionar, uma vez que o fatoramento está nessa classe.

— Robin Kothari

f (k) = k_{i}

$f(k) = k_i$

i

$i$

@ Emanuele, boa pergunta. A função indicadora do i-ésimo bit na representação binária de k é um "polinômio de colchete" linear, mas possui coeficientes muito altos, portanto, pode não seguir o teorema de Green-Tao sobre a correlação da função Mobius com a função limitada. n-sequências passo a passo. Nilsequences limitada passos têm limitado grau polinômios suporte como casos especiais, mas seu resultado pode ter algumas restrições sobre as magnitudes dos coeficientes

— Luca Trevisan

f \in N C^{0}

$f \in NC^0$

f

$f$

{- 1, 0, 1}

$\{-1,0,1\}$

{- 1, 1}

$\{-1,1\}$