Gráficos regulares e isomorfismo

Gostaria de perguntar se já existe um resultado publicado sobre isso:

Pegamos todos os caminhos diferentes possíveis entre cada par de nós de dois gráficos regulares conectados (com grau , digamos, e número de nós ) e anotamos seus comprimentos. Claro que esse número de caminhos distintos é exponencial. Minha pergunta é: se ordenarmos os comprimentos e compará-los (as listas obtidas pelos dois gráficos) e eles forem exatamente iguais, podemos dizer que os dois gráficos são isomórficos? $d$ $n$

Obviamente, mesmo que seja um resultado, não podemos usá-lo para responder ao isomorfismo do gráfico, pois o número de caminhos distintos é exponencial, como dito

Por caminhos distintos , refiro-me a caminhos com pelo menos um nó diferente, obviamente.

Obrigado a priori por sua ajuda.

— N27
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em gráficos 2-regulares, há um número muito pequeno de caminhos diferentes, pois um gráfico 2-regular é uma união disjunta de ciclos. Portanto, você tem 2 ou 0 caminhos entre cada par de vértices.

— Nathann Cohen

Esta questão, embora interessante, parece mais adequada para o MathOverflow para mim.

— Niel de Beaudrap

Respostas:

Acredito que a resposta para sua pergunta seja "não" porque uma condição equivalente implicaria uma solução de tempo polinomial para a IG.

Para , a matriz de adjacência do gráfico , observe que o número de caminhos de até de comprimento é (com repetição de vértices e arestas permitidas). Para dois gráficos e (com matrizes de adjacência e ) e , se você classificou os elementos de e , em seguida, para $A$ $G$ $i$ $j$ $k$ $(A^k)_{i, j}$ $G_1$ $G_2$ $A_1$ $A_2$ $k \ge 1$ $A_1^k$ $A_2^k$ seja isomórfico a , é uma condição necessária que as listas sejam idênticas para todos os . $G_1$ $G_2$ $k$

Eu acredito que sua conjectura é equivalente a:

Se as listas ordenadas de elementos de e são idênticas para a (limite superior no caminho mais longo com vértices não repetidos), e são isomórficos. $A_1^k$ $A_2^d$ $k = 1$ $n - 1$ $G_1$ $G_2$

$n - 1$ $n \times n$ $n^2$ $n^4$

Admito duas possíveis falhas no meu argumento. Primeiro, é totalmente possível que o GI tenha um algoritmo de tempo polinomial e que acabamos de descobrir juntos, agora mesmo (viva, somos famosos!). Eu acho isso altamente improvável. Segundo (e muito mais provável), o que propus não é realmente equivalente à sua conjectura.

Pensamento final. Você já tentou isso para todos, digamos, gráficos 3-regulares para o tamanho 8 ou mais? Eu pensaria que, se sua conjectura é falsa, deve haver um contra-exemplo em gráficos tridimensionais de tamanho relativamente pequeno.

— bbejot
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(A^{k})_{i, j}

$(A^{k})_{i,j}$

@ N27: Pode ser comprovado usando a definição de multiplicação e indução de matrizes.

— Tomek Tarczynski 28/04

Sim, facilmente, na verdade ...

— N27

Ah, parece que mais uma vez minha intuição me desviou. Contar o número de caminhos simples distintos em um gráfico (ou mesmo apenas entre 2 nós) é # P-complete. Portanto, meu argumento está errado porque diz que um algoritmo de tempo polinomial é equivalente a contar caminhos simples. Agora também estou completamente insegura se sua conjectura está correta ou não. No entanto, é um pouco discutível, porque não é provável que você resolva um problema # P-complete sobre o IG.

— bbejot 4/11

Como você está apenas comparando os comprimentos dos caminhos (e, enquanto isso, esquecendo a que par de nós eles correspondem se eu o entendi bem), acho que gráficos muito semelhantes devem fornecer um contra-exemplo: no final, você está apenas contando o número de caminhos de comprimento fixo e independentemente dos vértices que eles vinculam. Por exemplo, acho que esses gráficos são um contra-exemplo: http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/markus/REGGRAPHS/GIF/06_3_3-2.gif e http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/ markus / REGGRAPHS / GIF / 06_3_3-1.gif

Se não me engano (contar caminhos é tedioso), ambos têm 9 caminhos de comprimento 1, 18 caminhos de comprimento 2, 48 caminhos de comprimento 3, 30 caminhos de comprimento 4, 30 caminhos de comprimento 4 e 36 caminhos de comprimento 5

— Arnaud
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Eu conto 36 caminhos de comprimento 3 no primeiro gráfico e 30 gráficos de comprimento 3 no segundo gráfico. O problema é que o segundo gráfico possui ciclos de comprimento 3, enquanto o primeiro gráfico não. Ainda concordo, no entanto, que deve haver um gráfico relativamente pequeno como contra-exemplo. Ainda não encontrei um, no entanto.

— bbejot 2/11/11

Concordo com você, escrever um programa testando todos os pequenos gráficos provavelmente daria uma resposta rápida.

— Arnaud

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— trg787
fonte

em todos esses gráficos lambda = mu

— trg787 28/04

é o 3 pares mais simples (não-isomorfos)

— trg787

o que é isso?!! e como você sabe que existe pelo menos um caminho diferente?

— N27

Quero dizer, como você sabe que as listas de todos os caminhos possíveis entre cada par de nós são idênticas?

— N27

De qualquer forma, desculpe, eu não entendo o que você testou ou está tentando dizer ... Minha pergunta era se as 2 listas de todos os comprimentos de caminhos distintos entre todos os pares de nós NÃO são iguais para 2 gráficos não isomórficos.

— N27