Grade coloração sem retângulos monocromáticos

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Atualização : Agora é conhecido o conjunto de obstruções (ou seja, a "barreira" do NxM entre os tamanhos de grade coloridos e não coloridos) de todos os 4 corantes monocromáticos sem retângulos .

Alguém quer experimentar 5 cores? ;)

A questão a seguir surge da Teoria de Ramsey .

Considere uma cor do gráfico da grade by- . A existe sempre que quatro células da mesma cor são organizadas como os cantos de um retângulo. Por exemplo, e formam um retângulo monocromático se tiverem a mesma cor. Da mesma forma, e formam um retângulo monocromático, se colorido com a mesma cor. $k$ $n$ $m$ monochromatic rectangle $(0,0), (0,1), (1,1),$ $(1,0)$ $(2,2), (2,6), (3,6),$ $(3,2)$

Pergunta : Será que não existe um -coloring do -by- gráfico grade que não contém um retângulo monocromática? Nesse caso, forneça a coloração explícita. $4$ $17$ $17$

Alguns fatos conhecidos:

$16$ -by- é -colorable sem um rectângulo monocromática, mas o regime de coloração conhecidas não parecem estender-se ao -by- caso. (Estou omitindo a conhecida cor por- porque provavelmente seria um arenque vermelho para decidir por- ). $17$ $4$ $17$ $17$ $16$ $17$ $17$ $17$
$18$ por NÃO é de cores sem um retângulo monocromático. $19$ $4$
$17$ -by- e -by- também são casos desconhecidos; uma resposta para isso também seria interessante. $18$ $18$ $18$

Isenção de responsabilidade: Bill Gasarch tem uma recompensa de US $ 289 (USD) em uma resposta positiva a esta pergunta; você pode contatá-lo através do blog dele. Uma observação sobre etiqueta: vou garantir que ele saiba a fonte de qualquer resposta correta (se houver).

Ele o trouxe novamente à tona durante uma sessão de garupa na Barreiras II, e eu acho interessante, então estou encaminhando a pergunta aqui (sem o seu conhecimento; embora eu duvide que ele se importe).

— Daniel Apon
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Só quero adicionar algumas referências / referências: além das postagens do blog [1,2], as atualizações no blog do bit-player [3,4] são detalhadas e esclarecedoras. Houve uma discussão substancial em todas essas postagens. [1]: blog.computationalcomplexity.org/2009/11/… [2]: blog.computationalcomplexity.org/2009/12/… [3]: bit-player.org/2009/the-17x17-challenge [4] : bit-player.org/2009/17-x-17-a-nonprogress-report Nota: Não há formatação de redução nos comentários? Como posso criar links bonitos?

— Neeldhara 31/08/10

Esses são alguns ótimos links. Obrigado Neeldhara! :)

— Daniel Apon

Da mesma forma, obrigado por postar isso aqui - acompanhei os desenvolvimentos por algum tempo, e isso deve reacender o interesse no problema!

— Neeldhara 01/09/10

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@ Moron: Sim, você só precisa considerar os retângulos cujos lados são paralelos aos eixos. Aliás, também existe um ângulo da teoria da complexidade: Bill especulou que, dada uma coloração k parcial de um m por n grade, determinar se a coloração pode ser concluída de maneira livre de retângulos é NP-completo.

— Kurt

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O grupo automorfismo do problema é grande: simetrias de preservação da solução, contando a troca de coluna de linha, permutações de cores, permutações de linhas e permutações de colunas. Sabe-se quantos subconjuntos distintos sem retângulos existem de tamanho ?

2 \times 4! \times (17!)^{2} = 6.1 \times 10^{30}

$2\times 4! \times(17!)^2=6.1\times 10^{30}$

71, 72, 73, . . .

$71,72,73,...$

— Mjqxxxx

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Alguns de vocês provavelmente estão cientes disso, mas o problema das cores 17 x 17 foi resolvido por Bernd Steinbach e Christian Posthoff. Veja a publicação do blog de Gasarch aqui .

— Lev Reyzin
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Também a grelha 18x18 é 4-colorable sem retângulos monocromáticos ... agora, o "azulejo faltando" só é a grade 21x12

— Marzio De Biasi

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Essa não é realmente uma resposta para a pergunta, mas codifiquei o problema de 17 cores 17x17 como um 4-CNF (no formato DIMACS padrão para solucionadores de SAT) e o carreguei aqui . Se alguém tiver acesso a um bom solucionador de SAT (e um supercomputador!), Talvez possamos fazer algum progresso.

Nota: na minha codificação, se o ponto de grade tiver a cor , a variável assumirá o valor e caso contrário . $(i,j)$ $c \in \{0,1,2,3\}$ $(17i+j+289c+1)$ $1$ $0$

— Lev Reyzin
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Impressionante. (De fato, tenho acesso a um supercomputador.) Os próximos passos da execução para estimar o tempo de execução dessa coisa na máquina específica. Quem sabe se isso está no razoável, mas é uma abordagem diferente que eu estava olhando. Agora, é hora de ir encontrar essa pergunta recente sobre SAT-solucionadores para que eu possa ler ... :)

— Daniel Apon

Acontece que o problema que eu estava pensando era no #SAT, então eu comecei uma nova pergunta sobre os solucionadores de SAT em cstheory.stackexchange.com/questions/1719/…

— Daniel Apon

Ótimo - deixe-me saber como vai!

— Lev Reyzin

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@ Lev, apenas uma atualização aleatória: parece que o tempo de execução do 17x17, mesmo usando o melhor supercomputador possível e um solucionador SAT realmente rápido, ainda é astronômico. Lado positivo: parece que, dentro do campo da razão, atacar isso com um supercomputador de maneira direcionada, ou seja, encontre as cores 1 parciais exatas que funcionarão (já feitas à mão por Beth Kupkin na Rutgers), e então encontre as partes parciais exatas 2 - cores que funcionarão com isso, etc. Desvantagem: não há "solução rápida"; ele vai ter que ser um projeto a longo prazo com vários estágios de execução supercomputador

— Daniel Apon

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@ Joe, no entanto! Aqui está uma "tabela de classificação" das melhores cores aproximadas atuais: Tabela de classificação - Parece que o recozimento simulado funciona muito bem para encontrar cores aproximadas.

— Daniel Apon 23/03

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Esta também não é uma resposta real. Certamente, o problema aqui é a presença de um número astronômico de simetrias, que enganam até os melhores solucionadores de SAT dos melhores supercomputadores. Tais simetrias mapeiam soluções para soluções e não soluções para não soluções: nesse caso, provavelmente existe um imenso número de quase soluções (ou seja, tarefas que satisfazem todas, exceto uma pequena quantidade de cláusulas), cada uma das quais pode ser obtida por qualquer outra aplicando uma simetria adequada. Portanto, o solucionador perde uma quantidade enorme de tempo tentando cada uma dessas quase soluções, enquanto em certo sentido elas são todas iguais.

A exploração de simetrias (consulte este documento) deve ser uma avenida a ser explorada para atacar essa instância difícil de 17x17 e fazer algum progresso nela. Gostaria de saber se alguém já tentou fazê-lo.

— Giorgio Camerani
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Ei, isso é muito fofo! :) Não tinha visto isso antes.

— Daniel Apon 23/03

@ Daniel: De nada! ;-) Espero que ajude.

— Giorgio Camerani 23/03

Usei o programa "Shatter" de Aloul em várias codificações do problema 17x17 e coloquei algumas semanas de CPU em alguns resolvedores SAT diferentes e não tive sorte. O artigo que Walter mencionou é, na verdade, o primeiro de talvez uma dúzia ou algo que ele escreveu sobre o assunto, então pode haver algo lá que faça o trabalho, mas não é um fruto baixo.

— Jay Kominek

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Mais uma vez, não é uma resposta real, mas, de qualquer forma, aqui estão algumas idéias sobre a adoção de algoritmos de coloração gráfica para esse problema.

$I$ $I$

$n$ $m$ $k$
$n$ $m$ $k$
$n$ $m$ $k$

$\log k\ \text{poly}(nm)2^{nm}$ $k^{mn}$ $2^{289}$

Se a família de todos os conjuntos independentes (máximos) tiver uma estrutura suficientemente agradável, também poderá ser possível ajustar o algoritmo do produto de cobertura.

— Janne H. Korhonen
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Como a reivindicação 3 é equivalente à reivindicação 2? O conjunto independente máximo para 17x17 é de tamanho 74, a propósito, como mostra o artigo de Elizabeth Kupin (pdf) . Existe apenas um desses conjuntos, sem contar as permutações das linhas e colunas como distintas.

— Null Set

Quero dizer máximo no sentido de que nenhum superconjunto adequado é independente, como é habitual na ciência da computação. Máximo é a palavra geralmente usada quando significa "o maior tamanho possível".

— Janne H. Korhonen

Nesse caso, o conjunto de conjuntos independentes máximos contém todas as permutações de linha / coluna do conjunto exclusivo de tamanho 74 e nenhum conjunto independente de tamanho 73, porque são todos os subconjuntos do conjunto de tamanho 74. Não tenho certeza do que ele tem dos tamanhos 67 a 72. #

— Null Set

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A grade 21x12 também é de 4 cores, sem retângulos monocromáticos !!!

Veja a última publicação de Bernd Steinbach no blog da Gasarch !

— Marzio De Biasi
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Este é Bill Bouris. Oi Dan. Estou trabalhando em um programa que procura uma matriz 17x17 adequada que exiba não-4-coloração, de acordo com a Teoria de Ramsey. Eu uso uma matriz posicional que representa todas as conexões entre pontos e fixo a diagonal principal e permito que a linha superior da matriz percorra todas as combinações possíveis de 16choose8; Capto apenas as matrizes que passam em relação aos seguintes critérios ... no-XRRR, no-RXRR, no-RRXR, no-RRRX, no-XBBB, no-BXBB, etc., depois varro a matriz usando o próximo critérios mais fracos ... no-XBRR, noBXRR, no-BBXR, no-BBRX, no-XRBB, no-RXBB, etc., para um total de 32 varreduras até o computador preencher a coloração automaticamente. Percebi que existe um possível candidato para cada 400 matrizes de um total de 12780 e leva 0,95 horas para encontrar o candidato ou 1 para cada 8. 644 segundos. Está chegando, mas não tenho muito tempo para programá-lo ... pois trabalho em período integral. Deveríamos trabalhar juntos ... Eu poderia usar os US $ 289,00!

— William Bouris
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Bill Gasarch deve pagar apenas US $ 128.

— William Bouris 23/05

desculpe por isso ... 272/2 ou US $ 136

— William Bouris

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Esta não é uma resposta para a pergunta. melhor como um comentário.

— Suresh Venkat