Qual é o número de idiomas aceitos por um DFA de tamanho

A questão é simples e direta: para um fixo $n$ , quantos idiomas (diferentes) são aceitos por um DFA de tamanho $n$ (isto é, $n$ estados)? Vou declarar formalmente isso:

Defina um DFA como $(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ , onde tudo é como de costume e $\delta:Q\times\Sigma\to Q$ é uma função (possivelmente parcial). Precisamos estabelecer isso, pois às vezes apenas funções totais são consideradas válidas.

Para cada $n\geq 1$ , defina a relação (equivalência) $\sim_n$ no conjunto de todos os DFAs como: se e . $\mathcal{A}\sim_n\mathcal{B}$ $|\mathcal{A}|=|\mathcal{B}|=n$ $L(\mathcal{A})=L(\mathcal{B})$

A questão é, então: para um dado , qual é o índice de ? Ou seja, qual é o tamanho do conjunto ? $n$ $\sim_n$ $\{L(\mathcal{A})\mid\mathcal{A}\textrm{ is a DFA of size }n\}$

Mesmo quando é uma função total, não parece ser uma contagem fácil (pelo menos para mim). O gráfico pode não estar conectado e os estados no componente conectado que contêm o estado inicial podem estar aceitando; portanto, por exemplo, existem muitos gráficos de tamanho aceitam . O mesmo acontece com outras combinações triviais para o idioma vazio e outros idiomas cujo DFA mínimo possui menos de estados. $\delta$ $n$ $\Sigma^*$ $n$

A recursão (ingênua) também não parece funcionar. Se pegarmos um DFA do tamanho e adicionarmos um novo estado, se quisermos manter o determinismo e conectar o novo gráfico (para tentar evitar casos triviais), precisaremos remover uma transição para conectar o novo estado, mas nesse caso, podemos perder o idioma original. $k$

Alguma ideia?

Nota. Atualizei a pergunta novamente, com uma declaração formal e sem os elementos que distraíam anteriormente.

— Janoma
fonte

Apenas para esclarecer: você quer dizer "quantos idiomas diferentes podem ser definidos usando

estados?", Onde um idioma é definido usando

estados se houver um DFA com

estados que o aceite. Além disso, para as expressões regulares, a regex "a * aaaaaa" certamente tem> 1 concatenações, mas o DFA precisa de apenas um estado (dois se você precisar de um coletor separado), não?

n

$n$

n

$n$

n

$n$

— Evgenij Thorstensen

Desculpas: Para o exemplo de regex, ele deve ser " a a a a *", pois isso permite qualquer número.

— Evgenij Thorstensen

A definição de

parece muito relacionada à noção de "profundidade de pontos", exceto que o conceito é normalmente aplicado a idiomas sem estrelas (provavelmente pelos motivos que @Evgenij Thorstensen destacou).

c (r)

$c(r)$

— Mhum

Observação trivial:

estados podem ser usados para definir pelo menos

idiomas diferentes.

n + 1

$n+1$

2^{n}

$2^n$

— Evgenij Thorstensen

Podemos ficar um pouco mais, então

parece OK. Mas o número de autômatos n-state é de cerca de

(assumindo

). Podemos obter

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

n^{c n} 2^{n} = 2^{c n \log n + n} = 2^{Θ (n \log n)}

$n^{cn}2^n=2^{cn\log n+n} = 2^{\Theta(n\log n)}$

| Σ | = c

$|\Sigma|=c$

2^{ω (n)}

$2^{\omega(n)}$

— Kaveh

Penso que esta questão foi estudada anteriormente. Mike Domaratzki escreveu uma pesquisa sobre pesquisa nesta área: "Enumeração de línguas formais", Bull. EATCS, vol. 89 (junho de 2006), 113-133: http://www.eatcs.org/images/bulletin/beatcs89.pdf

— Hermann Gruber
fonte

O artigo aborda precisamente a pergunta feita, a partir da página 120. É a função

, e o artigo fornece limites bastante apertados (próximos ao que Kaveh menciona acima), embora eu não tenha inalado todos os detalhes.

g_{k} (n)

$g_k(n)$

— Evgenij Thorstensen

De fato. O que queremos, então, é

, ou, pela relação apresentada,

, que é o número de DFAs mínimos não isomórficos aos pares com

estados sobre um alfabeto com letras

. Também não olhei em detalhes, mas parece que apenas os limites são conhecidos, e não as quantidades exatas.

g_{k} (n)

$g_k(n)$

f_{k} (n)

$f_k(n)$

n

$n$

k

$k$

— Janoma 23/08/11

E, do mesmo autor, temos o artigo Sobre o número de idiomas distintos aceitos por autômatos finitos com n Estados , que até fornece cálculos explícitos para

(

) e

(

g_{1} (n)

$g_1(n)$

1 \leq n \leq 10

$1\leq n\leq 10$

g_{2} (n)

$g_2(n)$

1 \leq n \leq 6

$1\leq n\leq 6$

g_{3} (n)

$g_3(n)$

1 \leq n \leq 4

$1\leq n\leq 4$

— Janoma 23/08/19