Uma categoria possui biprodutos quando os mesmos objetos são os produtos e os coprodutos. Alguém já investigou a teoria da prova de categorias com bioprodutos?
Talvez o exemplo mais conhecido seja a categoria de espaços vetoriais, na qual a soma direta e as construções diretas do produto fornecem o mesmo espaço vetorial. Isso significa que os espaços vetoriais e os mapas lineares são um modelo ligeiramente degenerado da lógica linear, e estou curioso em como seria uma teoria de tipos que aceite essa degenerescência.
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Talvez Cockett & Seely? Talvez Introdução às categorias lineares, ou algo mais de math.mcgill.ca/~rags .
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Dave Clarke
Talvez o "bi-" em "biprodutos" seja enganador: não é uma coisa bidimensional, é exatamente o que acontece quando os mesmos objetos são produtos e coprodutos (mais algumas condições de coerência) em categorias comuns.
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Neel Krishnaswami
Talvez o trabalho deles: SOM FINITO - LÓGICA DO PRODUTO.
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Dave Clarke
Um pouco degenerado? Acredito que identificar produtos e coprodutos implica identificar os objetos inicial e terminal, que são tipicamente vazios e singleton, interpretados como falsidade e verdade triviais, respectivamente. Na lógica linear, acho que isso derruba toda a metade aditiva da lógica em uma operação auto-dupla com uma identidade que aniquila as duas multiplicações. Por outro lado, o fragmento multiplicativo tende a ser o meio mais construtiva da lógica linear, então talvez isso faz interessante em algum lugar chumbo ...
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CA McCann
@camccann: Existe matemática fora da lógica. Na álgebra comutativa, o objeto inicial e o terminal normalmente concordam, assim como os coprodutos e produtos. Por exemplo, o grupo abeliano trivial é inicial e terminal. Um objeto que é inicial e terminal é chamado de objeto zero. Dê uma olhada nas categorias abelianas para ter alguma intuição de como tudo isso funciona.
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Andrej Bauer