A pesquisa mais abrangente da relação entre a teoria da prova construtiva (que está intimamente ligada à teoria dos ordinais construtivos) e a aritmética impredicativa de segunda ordem (que, como Ulrik aponta é equivalente em força ao Sistema F), é Girard (1989). Lá ele constrói sua teoria dos dilatadores (1981), que eu realmente não sigo, mas acho que essencialmente fornece uma teoria não construtiva da skolemização de ordem superior.
Meu entendimento é que você não pode expressar fórmulas de forma construtiva no sentido de Bishop-Martin-Löf, porque eles são impredicativa de uma forma que você não pode eliminar através da adição de qualquer tipo de esquema de indução de primeira ordem.Σ12
Lembro-me de sugerir a um teórico ordinal que alguém poderia simplesmente estipular que você pode fundamentar um construtivismo impredicativo em uma teoria de tipos baseada no cálculo lambda polimórfico e usar a técnica candidata a redução da prova SN de Girard para o Sistema F para impor uma ordem total razoável. o universo das construções, chamando as classes de equivalência que você obtém disso dos ordinais; ele disse algo inteligente que eu disse que você poderia fazer com que isso funcionasse, mas teria todas as vantagens de roubo sobre trabalho honesto. Para que funcione, não é bom o suficiente para que você possa provar na teoria dos conjuntos a existência de tais ordinais; você precisaria de uma prova construtiva de tricotomia para a ordem.
Em resumo, com a noção regular de construção intuicionista devida a Bishop-Martin-Löf, a literatura que conheço sugere fortemente que não. Se você é avesso a um trabalho honesto e adota um construtivismo impredicativo, meu palpite é que provavelmente isso pode ser feito. Naturalmente, você precisaria de uma teoria mais forte de que o Sistema F para provar construtivamente a tricotomia necessária, mas o Cálculo de Construções Indutivas fornece um candidato óbvio.
Referências
- Girard, Jean-Yves (1981), -Logic. I. Dilatadores, Anais da Lógica Matemática 21 (2): 75-219.Π12
- Girard (1989) Proof Theory and Logical Complexity, vol. Eu , Napoli: Bibliopolis. Não há volume II.