Como as seções de biquad em cascata para filtros de ordem superior funcionam?

Estou tentando implementar um filtro IIR de 8ª ordem e todas as anotações e livros didáticos que li dizem que é melhor implementar qualquer filtro de ordem superior a 2 como seções de segunda ordem. Eu usei tf2sosno MATLAB para obter os coeficientes para seções de segunda ordem, o que me deu coeficientes 6x4 para seções de 4 segunda ordem, conforme o esperado. Antes da implementação como SOS, o filtro de 8ª ordem exigia que 7 valores de amostra anteriores fossem armazenados (e também valores de saída). Agora, ao implementar como seções de segunda ordem, como o fluxo funciona da entrada para a saída, preciso armazenar apenas 2 valores de amostra anteriores? Ou a saída do primeiro filtro é alimentada como x_ino segundo filtro e assim por diante?

É a última coisa que você disse ("Ou a saída do primeiro filtro é alimentada como x_in no segundo filtro e assim por diante?"). A idéia é simples: você trata os biquads como filtros de segunda ordem separados que estão em cascata. A saída do primeiro filtro é a entrada para o segundo, e assim por diante, para que as linhas de atraso se espalhem entre os filtros. Se você precisar otimizar a estrutura em um ambiente com restrição de memória, observe que biquads adjacentes possuem memória de atraso redundante (ou seja, as últimas amostras de saída do estágio 1 são iguais às últimas amostras de entrada do estágio 2, portanto, você não deve é necessário armazená-los separadamente, como você faria se apenas implementasse os filtros isoladamente).

Na verdade, existem duas maneiras de implementar seções de segunda ordem: paralela e serial. Na versão serial, as saídas da seção N são as entradas da seção N + 1. Na versão paralela, todas as seções têm a mesma entrada (e apenas um zero real em vez de um par de zeros complexo conjugado) e a saída de cada seção é simplesmente resumida. Os dois métodos estão relacionados através da expansão de fração parcial da função de transferência do domínio Z. AVISO: esse é um problema numericamente complicado, e a implementação padrão do Matlab "residuez" pode ter erros numéricos muito grandes para filtros de áudio típicos que possuem pólos próximos ao círculo da unidade.

Aqui está um pouco de código de demonstração para mostrar por que você é melhor em cascata de seções de 2ª ordem.

clc

sr = 44100;
order = 13;

[b,a] = butter(order,1000/(sr/2),'low');
[sos] = tf2sos(b,a);

x = [1; zeros(299,1)]; %impulse


% all in one
Y = filter(b,a,x);

% cascaded biquads
Z = x;
for nn = 1:size(sos,1);
    Z = filter(sos(nn,1:3),sos(nn,4:6), Z );
end


cla; plot(Y, 'k'); hold on; plot(Z,':r'); hold off

Para o filtro passa-baixo fornecido no exemplo acima, por ordens de cerca de 12 a 13, os erros numéricos são acumulados para fornecer uma resposta de impulso visivelmente diferente para a implementação que não usa biquads em cascata. Dependendo do filtro, sua milhagem varia.

ORDEM = 10

PEDIDO = 13