Equivalência das especificações de efeito aleatório (0 + fator | grupo) e (1 | grupo) + (1 | grupo: fator) em caso de simetria composta

Douglas Bates afirma que os seguintes modelos são equivalentes "se a matriz de variância-covariância para efeitos aleatórios com valor vetorial tiver uma forma especial, chamada simetria composta" ( slide 91 desta apresentação ):

m1 <- lmer(y ~ factor + (0 + factor|group), data)
m2 <- lmer(y ~ factor + (1|group) + (1|group:factor), data)

Especificamente, Bates usa este exemplo:

library(lme4)
data("Machines", package = "MEMSS")

m1a <- lmer(score ~ Machine + (0 + Machine|Worker), Machines)
m2a <- lmer(score ~ Machine + (1|Worker) + (1|Worker:Machine), Machines)

com as saídas correspondentes:

print(m1a, corr = FALSE)

Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
Formula: score ~ Machine + (0 + Machine | Worker)
   Data: Machines
REML criterion at convergence: 208.3112
Random effects:
 Groups   Name     Std.Dev. Corr     
 Worker   MachineA 4.0793            
          MachineB 8.6253   0.80     
          MachineC 4.3895   0.62 0.77
 Residual          0.9616            
Number of obs: 54, groups:  Worker, 6
Fixed Effects:
(Intercept)     MachineB     MachineC  
     52.356        7.967       13.917  

print(m2a, corr = FALSE)

Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
Formula: score ~ Machine + (1 | Worker) + (1 | Worker:Machine)
   Data: Machines
REML criterion at convergence: 215.6876
Random effects:
 Groups         Name        Std.Dev.
 Worker:Machine (Intercept) 3.7295  
 Worker         (Intercept) 4.7811  
 Residual                   0.9616  
Number of obs: 54, groups:  Worker:Machine, 18; Worker, 6
Fixed Effects:
(Intercept)     MachineB     MachineC  
     52.356        7.967       13.917

Alguém pode explicar a diferença entre os modelos e como se m1reduz a m2(dada simetria composta) de maneira intuitiva?

Neste exemplo, há três observações para cada combinação das três máquinas (A, B, C) e os seis trabalhadores. Usarei para denotar uma matriz de identidade n- dimensional e 1 n para denotar um vetor n- dimensional de uns. Digamos que y é o vetor de observações, que assumirei que é ordenado pelo trabalhador e depois pela máquina e depois pela replicação. Seja μ os valores esperados correspondentes (por exemplo, os efeitos fixos) e γ seja um vetor de desvios específicos do grupo aos valores esperados (por exemplo, os efeitos aleatórios). Condicional em γ , o modelo para y pode ser escrito:$I_n$$n$$1_n$$n$$y$$\mu$$\gamma$$\gamma$$y$

$$y \sim \mathcal{N}(\mu + \gamma, \sigma^2_y I_{54})$$

onde é a variação "residual".$\sigma^2_y$

Para entender como a estrutura de covariância dos efeitos aleatórios induz uma estrutura de covariância entre as observações, é mais intuitivo trabalhar com a representação "marginal" equivalente , que se integra aos efeitos aleatórios . A forma marginal deste modelo é,$\gamma$

$$y \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2_y I_{54} + \Sigma)$$

Aqui, é uma matriz de covariância que depende da estrutura de γ (por exemplo, os "componentes de variância" subjacentes aos efeitos aleatórios). Vou me referir a Σ como a covariância "marginal".$\Sigma$$\gamma$$\Sigma$

No seu caso m1, os efeitos aleatórios se decompõem como:

$$\gamma = Z \theta$$

$Z = I_{18} \otimes 1_3$$\theta^T = [\theta_{1,A}, \theta_{1,B}, \theta_{1,C} \dots \theta_{6,A}, \theta_{6,B}, \theta_{6,C}]$

$$\theta \sim \mathcal{N}(0, I_6 \otimes \Lambda)$$

$\Lambda$$\Lambda$$\sigma_\theta$$\tau$

$$\Lambda = \left[\begin{matrix} \sigma^2_\theta + \tau^2 & \tau^2 & \tau^2 \\ \tau^2 & \sigma^2_\theta + \tau^2 & \tau^2 \\ \tau^2 & \tau^2 & \sigma^2_\theta + \tau^2 \end{matrix}\right]$$

$\Lambda$

$\Sigma = Z (I_6 \otimes \Lambda) Z^T$$\sigma^2_\theta + \tau^2 + \sigma^2_y$$i, j$$u, v$

$$\mathrm{cov}(y_{i,u}, y_{j,v}) = \begin{cases} 0 & \text{if } i\neq j \\ \tau^2 & \text{if } i=j, u\neq v \\ \sigma^2_\theta + \tau^2 & \text{if } i=j, u=v \end{cases}$$

Para você m2, os efeitos aleatórios se decompõem em:

$$\gamma = Z \omega + X \eta$$

$X = I_6 \otimes 1_9$$\omega^T = [\omega_{1,A}, \omega_{1,B}, \omega_{1,C}, \dots, \omega_{6,A}, \omega_{6,B}, \omega_{6,C}]$$\eta^T = [\eta_{1}, \dots, \eta_{6}]$

$$\eta \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_\eta I_6)$$ $$\omega \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_\omega I_{18})$$ $\sigma_\eta^2, \sigma_\omega^2$

m2$\Sigma = \sigma^2_\omega Z Z^T + \sigma^2_\eta X X^T$$\sigma^2_\omega + \sigma^2_\eta + \sigma^2_y$$i, j$$u, v$

$$\mathrm{cov}(y_{i,u}, y_{j,v}) = \begin{cases} 0 & \text{if } i\neq j \\ \sigma_\eta^2 & \text{if } i=j,u\neq v \\ \sigma^2_\omega + \sigma^2_\eta & \text{if } i=j,u=v \end{cases}$$

So ... $\sigma^2_\theta \equiv \sigma^2_\omega$ and $\tau^2 \equiv \sigma^2_\eta$. If m1 assumed compound symmetry (which it doesn't with your call to lmer, because the random effects covariance is unstructured).

Brevity is not my strong point: this is all just a long, convoluted way of saying that each model has two variance parameters for the random effects, and are just two different ways of writing of the same "marginal" model.

In code ...

sigma_theta <- 1.8
tau         <- 0.5
sigma_eta   <- tau
sigma_omega <- sigma_theta
Z <- kronecker(diag(18), rep(1,3))
rownames(Z) <- paste(paste0("worker", rep(1:6, each=9)), 
                     rep(paste0("machine", rep(1:3, each=3)),6))
X <- kronecker(diag(6), rep(1,9))
rownames(X) <- rownames(Z)
Lambda <- diag(3)*sigma_theta^2 + tau^2

# marginal covariance for m1:
Z%*%kronecker(diag(6), Lambda)%*%t(Z)
# for m2:
X%*%t(X)*sigma_eta^2 + Z%*%t(Z)*sigma_omega^2