Intervalos de confiança ao usar o teorema de Bayes

Estou computando algumas probabilidades condicionais e intervalos de confiança associados a 95%. Para muitos de meus casos, tenho contagens diretas de xsucessos fora dos ntestes (de uma tabela de contingência), para que eu possa usar um intervalo de confiança binomial, como é fornecido por binom.confint(x, n, method='exact')in R.

Em outros casos, porém, eu não tenho esses dados, então uso o teorema de Bayes para calcular as informações que tenho. Por exemplo, dado eventos e : $a$ $b$

P (a | b) = \frac{P (b | a) \cdot P (a)}{P (b)}

$P(a|b) = \frac{P(b|a) \cdot P(a)}{P(b)}$

Posso calcular um intervalo de confiança de 95% em torno de usando e calculo o valor razão como sua razão de frequência . É possível derivar um intervalo de confiança em torno de usando essas informações? $P(b|a)$ $\textrm{binom.confint}(\#\left(b\cap{}a),\#(a)\right)$ $P(a)/P(b)$ $\#(a)/\#(b)$ $P(a|b)$

Obrigado.

r bayesian confidence-interval conditional-probability hidden-markov-model segmentation hypothesis-testing statistical-significance multiple-comparisons multiple-regression r regression survey sample finite-population pca model-selection dataset partitioning clustering time-series least-squares regression standard-error causality r time-series outliers missing-data machine-learning svm hypothesis-testing discrete-data r data-visualization survey likert finance regression pca feature-selection stepwise-regression underdetermined svm natural-language

— Ken Williams
fonte

a

$a$ e são eventos. No meu caso, é uma falha do sistema (o que é bastante raro, tão difícil de encontrar "na natureza") é um alarme de pré-falha, por isso estou medindo a probabilidade de falha em relação a um alarme.

b

$b$

a

$a$

b

$b$

— 21712 Ken Williams

O comentário acima foi em resposta a alguém que pediu para mais fundo do que e foram, mas parece ter eliminado o comentário.

a

$a$

b

$b$

— Ken Williams

Bem, você não pode simplesmente pegar o intervalo de confiança para p (b | a) e escalá-lo em p (a) / p (b) devido à incerteza na estimativa dessa relação. Se você pode construir um intervalo de confiança de 100 (1-α)% para p (a) / p (b), chame-o de [A, B], então pegue o limite inferior para um intervalo de confiança de 100 (1-α)% para p ( b | a) e multiplique-o por A e pegue o limite superior de p (b | a) e multiplique-o por B. Isso deve resultar em um intervalo que tenha pelo menos um nível de confiança de 100 (1-α) % para p (a | b).

^{2}

$^2$

— Michael R. Chernick

Poderia funcionar ... não é óbvio para mim obter um intervalo de confiança para - você deseja mover isso para a área "Resposta"? Eu prometo pelo menos um voto positivo. =)

P (a) / P (b)

$P(a)/P(b)$

— Ken Williams

Você não quer um intervalo credível bayesiano ? Isso é diretamente computável a partir da distribuição posterior de .

a

$a$

— whuber

Bem, você não pode simplesmente pegar o intervalo de confiança para e escalá-lo em devido à incerteza na estimativa dessa relação. Se você pode construir um intervalo de confiança de para , use o limite inferior para um intervalo de confiança de para e multiplicá-la por e tomar o limite superior para e multiplicá-la por . Isso deve dar em um intervalo que tenha pelo menos um nível de confiança de para . $p(b|a)$ $p(a)/p(b)$ $100(1-\alpha)\%$ $[A, B]$ $p(a)/p(b)$ $100(1-\alpha)\%$ $p(b|a)$ $A$ $p(b|a)$ $B$ $100(1-\alpha)^2\%$ $p(a|b)$

— Michael R. Chernick
fonte

Isso parece viável pelo menos como uma primeira facada. Mas eu não estou ciente de um método para derivar intervalos de confiança para a proporção de dois Bernoulli probabilidades dado contagens observadas de e em uma amostra da população.

P (a) / P (b)

$P(a)/P(b)$

a

$a$

b

$b$

— Ken Williams

Existe um método suposto para calcular um intervalo em por Katz et al., 1978. Não consigo encontrar o artigo original sem paywalls, mas esse código parece mostrar o método: jstor.org/ discover / 10.2307 / 2531405

P (a) / P (b)

$P(a)/P(b)$

— Ken Williams

Se eu não errei, aqui está uma função para fazer a estimativa do intervalo da razão de Bernoullis:

binrat.confint <- function(x, y, n=Inf, m=n, p=0.95) {   s2 <- 1/x - 1/n + 1/y - 1/m;   x/y * exp(c(-1:1)*pnorm((1+p)/2)*sqrt(s2)) }

— Ken Williams