Os graus de liberdade podem ser um número não inteiro?

Quando uso o GAM, o DF residual é (última linha do código). O que isso significa? Indo além do exemplo do GAM, em geral, o número de graus de liberdade pode ser um número não inteiro? $26.6$

> library(gam)
> summary(gam(mpg~lo(wt),data=mtcars))

Call: gam(formula = mpg ~ lo(wt), data = mtcars)
Deviance Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-4.1470 -1.6217 -0.8971  1.2445  6.0516 

(Dispersion Parameter for gaussian family taken to be 6.6717)

    Null Deviance: 1126.047 on 31 degrees of freedom
Residual Deviance: 177.4662 on 26.6 degrees of freedom
AIC: 158.4294 

Number of Local Scoring Iterations: 2 

Anova for Parametric Effects
            Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
lo(wt)     1.0 847.73  847.73  127.06 1.239e-11 ***
Residuals 26.6 177.47    6.67

r degrees-of-freedom gam machine-learning pca lasso probability self-study bootstrap expected-value regression machine-learning linear-model probability simulation random-generation machine-learning distributions svm libsvm classification pca multivariate-analysis feature-selection archaeology r regression dataset simulation r regression time-series forecasting predictive-models r mean sem lavaan machine-learning regularization regression conv-neural-network convolution classification deep-learning conv-neural-network regression categorical-data econometrics r confirmatory-factor scale-invariance self-study unbiased-estimator mse regression residuals sampling random-variable sample probability random-variable convergence r survival weibull references autocorrelation hypothesis-testing distributions correlation regression statistical-significance regression-coefficients univariate categorical-data chi-squared regression machine-learning multiple-regression categorical-data linear-model pca factor-analysis factor-rotation classification scikit-learn logistic p-value regression panel-data multilevel-analysis variance bootstrap bias probability r distributions interquartile time-series hypothesis-testing normal-distribution normality-assumption kurtosis arima panel-data stata clustered-standard-errors machine-learning optimization lasso multivariate-analysis ancova machine-learning cross-validation

— Haitao Du
fonte

Em geral, sim, df pode ser um número de ponto flutuante.

— David Lane

Você provavelmente quer perguntar sobre um número real (ou um número que não é inteiro); um número de ponto flutuante é um conceito de computador (uma maneira de aproximar números reais) que se relaciona à implementação, mas você está realmente perguntando sobre a ideia matemática subjacente (e melhor ainda fazer uma pergunta matemática). Muitas vezes, encontramos situações em que (por um motivo ou outro, nem sempre bom) uma quantidade que é conceitualmente um número inteiro está, no entanto, em implementação armazenada como um número de ponto flutuante. Sugiro "Um modelo pode ter graus de liberdade não inteiros?" para o título.

— Glen_b -Reinstate Monica

$k$ $k+1$

Geralmente pensamos em graus de liberdade como o número de parâmetros livres, mas há situações em que os parâmetros não são completamente livres e podem ser difíceis de contar. Isso pode acontecer ao suavizar / regularizar, por exemplo.

Os casos de métodos de regressão / kernel ponderados localmente e splines de suavização são exemplos dessa situação - um número total de parâmetros livres não é algo que você pode contar facilmente adicionando preditores, portanto, é necessária uma idéia mais geral dos graus de liberdade.

gam $\hat y = Ay$ $\operatorname{tr}(A)$ $\operatorname{tr}(AA^T)$ $\operatorname{tr}(2A-AA^T)$ $\operatorname{tr}(A)$ $X$ $A$

$\operatorname{tr}(A)$

$\sum_i \frac{\partial \hat y_i}{\partial y_i}$ $\operatorname{tr}(A)$ $\hat y$ $\frac{\partial \hat y_i}{\partial y_i}$

Para modelos como aqueles ajustados por gam, essas várias medidas geralmente não são inteiras.

(Eu recomendo a leitura da discussão dessas referências sobre esse assunto, embora a história possa se tornar um pouco mais complicada em algumas situações. Veja, por exemplo, [4])

[1] Hastie, T. e Tibshirani, R. (1990),
Generalized Additive Models
London: Chapman e Hall.

[2] Hastie, T., Tibshirani, R. e Friedman, J. (2009),
The Elements of Statistical Learning: Data Mining, Inference, and Prediction , 2ndEd
Springer-Verlag.
https://statweb.stanford.edu/~tibs/ElemStatLearn/

[3] Ye, J. (1998),
"Medindo e corrigindo os efeitos da mineração de dados e seleção de modelos"
Journal of the American Statistical Association , vol. 93, n. 441, pp 120-131

[4] Janson, L., Fithian, W. e Hastie, T. (2013),
"Graus efetivos de liberdade: uma metáfora defeituosa"
https://arxiv.org/abs/1312.7851

— Glen_b -Reinstate Monica
fonte

Não é relevante para este caso, mas o teste t de duas amostras de Welch, quando as variações são desiguais, pode ter um número não inteiro de graus de liberdade.

— Michael R. Chernick

Assim como o df corrigido por epsilon em medidas repetidas ANOVA.

— David Lane

Outra referência é statweb.stanford.edu/~tibs/ElemStatLearn/printings/… seção 5.4.1 Graus de liberdade e matrizes mais suaves

— Adrian

@Adrian thanks; Eu estava pensando se deveria adicionar apenas essa referência (e em particular se deveria mencionar a eqn 5.16 na seção que você aponta).

— Concluí