Interpretação probabilística de splines de suavização de placas finas
TLDR: As splines de regressão em placas finas têm uma interpretação probabilística / bayesiana? Dado pares de entrada-saída (xi,yi)(xi,yi)(x_i,y_i) , i=1,...,ni=1,...,ni=1,...,n ; Eu quero estimar uma função f(⋅)f(⋅)f(\cdot) seguinte forma f(x)≈u(x)=ϕ(xi)Tβ+∑i=1nαik(x,xi),f(x)≈u(x)=ϕ(xi)Tβ+∑i=1nαik(x,xi),\begin{equation}f(x)\approx u(x)=\phi(x_i)^T\beta +\sum_{i=1}^n \alpha_i k(x,x_i),\end{equation}k(⋅,⋅)k(⋅,⋅)k(\cdot,\cdot)ϕ(xi)ϕ(xi)\phi(x_i)m<nm<nm<nαiαi\alpha_iβiβi\beta_iminα∈Rn,β∈Rm1n∥Y−Φβ−Kα∥2Rn+λαTKα,minα∈Rn,β∈Rm1n‖Y−Φβ−Kα‖Rn2+λαTKα,\begin{equation} {\displaystyle \min _{\alpha\in R^{n},\beta \in R^{m}}{\frac {1}{n}}\|Y-\Phi\beta -K\alpha\|_{R^{n}}^{2}+\lambda \alpha^{T}K\alpha},\end{equation}ΦΦ\Phiϕ(xi)Tϕ(xi)T\phi(x_i)^Ti,ji,ji,jKKKk(xi,xj)k(xi,xj){\displaystyle k(x_{i},x_{j})} α∗=λ−1(I+λ−1K)−1(Y−Φβ∗)α∗=λ−1(I+λ−1K)−1(Y−Φβ∗)\begin{equation} \alpha^*=\lambda^{-1}(I+\lambda^{-1}K)^{-1}(Y-\Phi\beta^*) \end{equation} β∗={ΦT(I+λ−1K)−1Φ}−1ΦT(I+λ−1K)−1Y.β∗={ΦT(I+λ−1K)−1Φ}−1ΦT(I+λ−1K)−1Y.\begin{equation} \beta^*=\{\Phi^T(I+\lambda^{-1}K)^{-1}\Phi\}^{-1}\Phi^T(I+\lambda^{-1}K)^{-1}Y. …