Distribuição de
Como exercício de rotina, estou tentando encontrar a distribuição de X2+Y2−−−−−−−√X2+Y2\sqrt{X^2+Y^2} que XXXeYYYsãovariáveis aleatóriasU(0,1)U(0,1) U(0,1)independentes. A densidade da junta de (X,Y)(X,Y)(X,Y) é fX,Y(x,y)=10<x,y<1fX,Y(x,y)=10<x,y<1f_{X,Y}(x,y)=\mathbf 1_{0\cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right), comocosθcosθ\cos\thetaestá diminuindo emθ∈[0,π2]θ∈[0,π2]\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]; ezsinθ<1⟹θ<sin−1(1z)zsinθ<1⟹θ<sin−1(1z)z\sin\theta<1\implies\theta<\sin^{-1}\left(\frac{1}{z}\right), comosinθsinθ\sin\thetaestá aumentando emθ∈[0,π2]θ∈[0,π2]\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]. Então, para 1<z<2–√1<z<21< z<\sqrt 2 , temoscos−1(1z)<θ<sin−1(1z)cos−1(1z)<θ<sin−1(1z)\cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)<\theta<\sin^{-1}\left(\frac{1}{z}\right). O valor absoluto do jacobiano da transformação é |J|=z|J|=z|J|=z Assim, a densidade …